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Área de una superficie de revolución

De por WikiMatematica.org


Una superficie de revolucion se forma cuando se hace girar una curva en torno de una recta. Podemos imaginar que se desprende una capa externa muy delgada del cuerpo de revolucion y que la cascara se aplana para poder medir su area.


Cuando f sea positiva y tenga derivada continua, definimos al area superficial de la superficie obtenida al hacer girar la curva y= f(x),a \leq x \leq  b, en torno al eje x


S= \int_{a}^{b}2\pi f(x) \sqrt{1+[f{}'(x)]^{2} }dx

Con la notacion de Leibniz para derivadas la ecuacion se transforma en:

S= \int_{a}^{b}2\pi y \sqrt{1+\left (  \frac{\mathrm{d}y }{\mathrm{d} x}\right )^{2} }dx


Si la curva se describe con la ecuacion x= g(y),c \leq  y \leq d la ecuacion se convierte


S= \int_{c}^{d}2\pi y \sqrt{1+\left (  \frac{\mathrm{d}x }{\mathrm{d} y}\right )^{2} }dy


Se puede resumir de forma simbolica,

Rotacion en torno eje x

S= \int 2\pi y ds


Rotacion en torno eje y

S= \int 2\pi x ds


Donde ds se refiere a :

ds= \sqrt{1+\left ( \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} y} \right )^{2}}dy ó


ds= \sqrt{1+\left ( \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \right )^{2}}dx



Contenido

Ejemplos

La curva y=\sqrt{4-x^{2}},-1 \leq x \leq 1 es un arco del circulo x^{2}+y^{2}=4.Calcule el area de la superficie generada al rotar ese arco alrededor del eje x.

Tenemos

\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{-x}{\sqrt{4-x^{2}}}


S=\int_{-1}^{1}2\pi y\sqrt{1+\left ( \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \right )^{2}}dx


=2\pi \int_{-1}^{1}\sqrt{4-x^{2}}\sqrt{1+\frac{x^{2}}{4-x^{2}}} dx


=2\pi \int_{-1}^{1}\sqrt{4-x^{2}} \frac{2}{\sqrt{4-x^{2}}} dx


=4\pi \int_{-1}^{1}1dx


=4\pi (2)=8\pi

Ejemplo 2

Dada la funcion  y = x^2 en los puntos (1,1) y (2,4) que rota alrededor del eje y. Calcule el area de la superficie generada.


Superficie de revolucion.JPG


Tenemos

y'=2x

S=\int_{1}^{2}2\pi x\sqrt{1+(y')^2} dx


S=\int_{1}^{2}2\pi x\sqrt{1+(2x)^2} dx


S=\int_{1}^{2}2\pi x\sqrt{1+ 4x^2} dx


u = 1+4x^2 , du = 8xdx

Cambio a y b por la funcion dentro de la longitud de arco, a= 1 + 4(1)^2 = 5 y b=1+4(2)^2 = 17


S=\int_{5}^{17}\frac{2\pi}{8} u^{\frac{1}{2}} du

S =\left[\frac{\pi}{6} u^{\frac{3}{2}} \right]_{5}^{17}

S =\frac{\pi}{6}(17)^\frac{3}{2} - \frac{\pi}{6}(5)^\frac{3}{2}


S = 30.8\; U^2



Ejemplo 2


El arco de la parabola: y=x^{2}
se hace girar en torno del eje  y
de (1,1) a (2,4). Calcule el area de la superficie resultante.

Solución: Empleamos:

                                         y=x^{2} 
&  \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=2x

Tenemos que:

    
Debido a que gira entorno del eje  y
el area de superficie esta dada por: \int {2\pi xds}
En este caso: \int {2\pi xds}=\int_{1}^{2}{2\pi x \sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^{2}}dx}
 = \int_{1}^{2}{2\pi x \sqrt{1+4x^{2}}dx}
Proponemos:  u=1+4x^{2}
&  du=8xdx
sustituimos: S=\frac{\pi}{4}\int_{5}^{17}{\sqrt{u}du}
 = \frac{\pi}{6}{(17\sqrt{17}-5\sqrt{5})}

EJEMPLO 3


La curva  y= \sqrt{4-x^{2}} ,  -1\leq x \leq 1 , es un arco del círculo  x^{2}+y^{2} = 4.
Calcular el área de la superficie al girar el arco alrededor del eje "X".

entonces, sabemos que y' sería;
\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}= \frac{1}{2}(4-x^{2})^{\frac{-1}{2}}(-2x)=\frac{-x}{\sqrt{4-x^{2}}}
entonces nos queda que;
 S= \int_{-1}^{1} 2\pi y \sqrt{1+(\frac{-x}{\sqrt{4-x^{2}}}})^{2} dx

 S= 2\pi \int_{-1}^{1}  \sqrt{4-x^{2}} \sqrt{1+\frac{x^{2}}{4-x^{2}}} dx

 S= 2\pi \int_{-1}^{1}  \sqrt{4-x^{2}} \frac{2}{\sqrt{4-x^{2}}} dx

S=4\pi \int_{-1}^{1} dx= 4\pi(2)=8\pi

EJEMPLO 4

Encuentre el área de la superficie obtenida por la rotación de la curva en el eje X.

y = x^3 0\leq x\leq 2

y = x^3=>y'=3x^2

Entonces:

S = \int_{0}^{2}2\pi y\sqrt{1+(y')^2}dx = 2\pi\int_{0}^{2}x^3\sqrt{1+9x^4}dx

Hacemos las respectivas sustituciones:

u=1+9x^4y du=36x^3dx

= \frac{2\pi}{36}\int_{1}^{145}\sqrt{u}du=\frac{\pi}{18}\left [ \frac{2}{3}u^{3/2} \right ]_{1}^{145}\textrm{}

Simplificamos;

\frac{\pi}{27}(145\sqrt{145}-1)

Y, finalmente, nuestro resultado aproximado sería:

203U

EJEMPLO 5

Encuentre el área de la superficie obtenida por la rotación de la curva en el eje X.

9x=y^2+18; 2\leq x\leq 6

Sabemos que la curva 9x=y^2+18 es simétrica respecto al eje "X", entonces podemos usar la mitad, por la simetría;

y=3\sqrt{x-2}

\frac{dy}{dx}=\frac{3}{2\sqrt{x-2}} Entonces;

1+\frac{dy}{dx}^2=1+\frac{9}{4(x-2)}

Ahora ya podemos empezar a trabajar;

S=\int_{2}^{6}2\pi\cdot 3\sqrt{x-2}\sqrt{1+\frac{9}{4(x-2)}}dx

=> 6\pi\int_{2}^{6}\sqrt{x-2+\frac{9}{4}}dx


=>6\pi\int_{2}^{6}\left ( x+\frac{1}{4} \right )^{1/2}dx

=>6\pi\frac{2}{3}\left [ \left ( x+\frac{1}{4} \right )^{3/2} \right ]_{2}^{6}\textrm{}

=>4\pi\left [ \left ( \frac{25}{4} \right )^{3/2}-\left ( \frac{9}{4} \right )^{3/2} \right ]

=>4\pi\left ( \frac{125}{8}-\frac{27}{8} \right )

=>4\pi\cdot \frac{98}{8}

Y, finalmente nuestro resultado es: 49\pi

Aproximadamente, es; 153.9u

EJEMPLO 6

Encuentre el área de la superficie obtenida por la rotación de la curva en el eje X.

y=\sqrt{x};  4\leq x\leq 9

y=\sqrt{x}=>1+\left ( \frac{dy}{dx} \right )^2=>1+\left [ \frac{1}{\left ( 2\sqrt{x} \right )} \right ]^2=>1+\frac{1}{4x}

Entonces;

S=\int_{4}^{9}2\pi y\sqrt{1+\left ( \frac{dy}{dx} \right )^2}dx

=> \int_{4}^{9}2\pi\sqrt{x}\sqrt{1+\frac{1}{4x}} dx

=> 2\pi \int_{4}^{9}\sqrt{x+\frac{1}{4}}dx

=> 2\pi \left [ \frac{2}{3}\left ( x+\frac{1}{4} \right )^{3/2} \right ]_{4}^{9}\textrm{}

=> \frac{4\pi}{3}\left [ \frac{1}{8}(4x+1)^{3/2} \right ]_{4}^{9}\textrm{}

Nuestro resultado final, sería;

\frac{\pi}{6}(37\sqrt{37}-17\sqrt{17})

Lo que aproximadamente es: 81.14u

EJEMPLO 7

Encuentre el área de la superficie obtenida por la rotación de la curva en el eje X.

y=cos 2x; 0\leq x\leq \pi/6

y=cos 2x=>ds=\sqrt{1+\left ( \frac{dy}{dx} \right )^2}dx= \sqrt{1+(-2sen2x)^2}dx

Entonces;

S= \int_{0}^{\pi /6}2\pi cos 2x\sqrt{1+4sen^22x}dx

De una vez hacemos las sustituciones;

u=2sen2x Y du=4cos 2xdx

=> 2\pi \int_{0}^{\sqrt{3}}\sqrt{1+u^2}(1/4)

=>=\frac{\pi}{2}\left [ \frac{1}{2}u\sqrt{1+u^2}+\frac{1}{2}Ln\left ( u+\sqrt{1+u^2} \right ) \right ]_{0}^{\sqrt{3}}\textrm{}

=>\frac{\pi}{2}\left [ \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2+\frac{1}{2}Ln\left ( \sqrt{3}+2 \right ) \right ]

Finalmente, nuestro resultado sería:

\frac{\pi \sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{4}Ln(2+\sqrt{3})

Lo que aproximadamente corresponde a: 3.755u

EJEMPLO 8

Encuentre el área de la superficie obtenida por la rotación de la curva en el eje X.

y=coshx;0\leq x\leq 1

y=coshx=>1+\left ( \frac{dy}{dx} \right )^2=1+senh^2x=cosh^2x

Entonces;

S=2\pi \int_{0}^{1}coshx.coshx.dx

=> 2\pi \int_{0}^{1}\frac{1}{2}(1+cosh2x)dx

=>\pi \left [ x+\frac{1}{2}senh2x \right ]_{0}^{1}\textrm{}

Nuestro resultado o resultados, quedarían así:

=>\pi (1+\frac{1}{2}senh2) o también podría quedar así: \pi \left [ 1+\frac{1}{4}(e^2-e^{-2}) \right ]


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