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Áreas entre curvas

De por WikiMatematica.org

Contenido

ÁREAS ENTRE CURVAS


Para encontrar el área de una región entre dos curvas, hay que considerar dos funciones y=f(x) y y=g(x), las cuales tiene que ser continuas en los intervalos [a,b]. Si las graficas están sobre el eje x y la grafica y=g(x) esta debajo de la grafica y=f(x), se puede interpretar geométricamente el área de la región entre las graficas, es decir restar el área de la funcion y=g(x) al área de la función y=f(x), esto nos dará el área entre 2 curvas en determinados intervalos.

Definición

Si y=f(x) y y=g(x) son continuas en [a,b] y y=g(x)y=f(x) para todo x en [a,b], entonces el area de la región acotada por las graficas y=f(x) y y=g(x) y las rectas verticales x = a y x = b es

  • A=\int_{a}^{b}\left[f(x)-\right g(x)]\;dx


Area.png

Área de una región entre dos curvas que se intersecan

Se utiliza el mismo método, con excepción que aquí los intervalos se buscan, ya que como intervalos se utilizan los puntos donde se intersecan las graficas. Hay veces que las graficas se intersecan mas de 2 veces y de aquí sale que se sumas las 2 regiones, sin importar que grafica pase arriba o abajo, ya que para eso solo se utiliza la misma lógica de y=g(x)y=f(x) o y=f(x)y=g(x) y de esa forma se tendrá los 3 intervalos, uno para [a,b] y otra para [b,c].

  • A=\int_{a}^{b}\left[f(x)-\right g(x)]\;dx + \int_{b}^{c}\left[g(x)-\right f(x)]\;dx


Titulo.png


Si la grafica de una función de y es una frontera de una region, es a menudo conveniente usar rectángulos representativos horizontales y encontrar el área integrando en la variable y. En general, para determinar el área entre dos curvas, se usan

  • A=\int_{x1}^{x2}\left[(curva de arriba)-\right (curva de abajo)]\;dx   Rectangulos verticales
  • A=\int_{y1}^{y2}\left[(curva derecha)-\right (curva izquierda)]\;dx    Rectangulos horizontales


Donde (x1, x2) y (y1 , y2) son los puntos adyacentes de intersección de las dos curvas implicadas o puntos sobre las rectas de la frontera especificadas.


Ejemplo # 1

Encontar el área de la región:

  • y=x+1, y=9-x^2, x=-1, x=2
Area6.png


Solución
Como se observa en la figura nuestra función de arriba es y=9-x^2 y la de abajo es y=x+1 por lo tanto utilizamos nuestra ecuación donde f(x)=9-x^2, g(x)=x+1 donde a=-1, b=1

A=\int_{-1}^{2}\left [(9-x^2)-\right(x+1)]\;dx

A=\int_{-1}^{2}\left(8-x-x^2\right)\;dx

A=\left [8x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2}

A=\left(16-2-\frac{8}{3}\right)-\left(-8-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)

A=22-3+\frac{1}{2}

  • A=\frac{39}{2}

Ejemplo # 2

Encontrar el área de la región:

y=e^x, y=x, x=0, x=1

Area5.png

Solución
Como se muestra en la figura la función de arriba es y=e^x y en la parte de abajo es y=x por lo tanto utilizamos nuestra ecuación donde f(x)=e^x, g(x)=x donde a=0, b=1

A=\int_{0}^{1}\left (e^x-\right x)\;dx
A=\left e^x-\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=e-1-\frac{1}{2}

  • A=e-\frac{3}{2}


Ejemplo # 3

Calcule el área dela region definida por las parábolas:

 y = x^2
 y =  2x - x^2

Area.jpg

Solución

Ecuacion de la parabola:

 y =  - (x^2 - 2x)

completamos al cuadrado

y = - [(x-1)^2 - 1]

y = - (x-1)^2 + 1

y - 1= - (x-1)^2

igualamos las ecuaciones para encontrar las intersecciones:

 x^2 = 2x-x^2

 2x^2 = 2x

 x^2= x

 x^2 - x = 0

ó

x(x-1) = 0

 x = 0

ó

  x = 1

 A = \int_{0}^{1} 2x - x^2 dx =

\left [   x^2 - \frac{2}{3} x^3\right ]_{0}^{1} =

 1-\frac{2}{3}

    \frac{1}{3}U^2


--Juniorr 23:27 28 sep 2009 (CST)


Ejemplo # 3

Calcule el área dela region definida por las parábolas:

 y = x^2
 y =  4x - x^2

Area2.jpg


Ecuacion de la parabola:

para graficar esta parabola en caso de que no nos acordemos como se hace solo con viendo la ecuacion podemos graficarla metidole valores a X para saber cuanto vale en Y y asi graficarla

 y =  4x - x^2

igualamos las ecuaciones para encontrar las intersecciones(los puntos en donde evualuaremos la integral):

 x^2 = 4x-x^2

 x^2 2x-x^2 = 0


 2x^2 -4x = 0


 2x(x-2) = 0


 2x = 0

y

 x = 2

ya teniendo las interseciones que es 0 y 2 (esto quiere decir que integraremos de 0 a 2 que es el área que encierran las dos parabolas):

 A = \int_{0}^{2} 4x - x^2 -[x^2] dx

 A = \int_{0}^{2} 4x - x^2 -x^2 dx =

 A = \int_{0}^{2} 4x -2x^2 dx =

integramos:


 A = 2x^2 -\frac{2}{3}x^3 |_{0}^{2}


 A = 2(2)^2 -\frac{2}{3}(2)^3 -[0]


 A = 8 -\frac{16}{3}


 A =\frac{8}{3}U^2

--Hersonjmc 20:21 30 sep 2009 (CST)Herson Marroquin




Ejemplo # 4

Calcule el área dela región definida por:

 y = 1 - 2x^2
 y = |x|
Areaabs.jpg


Solución

Igualamos las ecuaciones para encontrar los intervalos en que crece el área delimitada:
tomamos |x| como positivo por ser el valor absoluto de |x|:

 x = 1 - 2x^2

 2x^2 + x - 1 = 0

factorizamos utilizando el metodo cuadratico:

 x = -1

 x = \frac{1}{2}

pero como la recta de la que depende el área es |x| (el valor absoluto de x) es positiva evaluamos en 0, y los intervalos nos qudan: [0,\frac{1}{2}]

Ahora evaluamos el área sub i  A_i

 A_i = (1-2x_i^2 - x_i)\Delta x_i

Ahora para aproximarnos más al área evaluamos el límite:</tex>

 A = \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n} [1-2x_i^2 - x_i]\Delta x_i

Ahora calculamos la integral:

 A = \int_{0}^\frac{1}{2} 1 - 2x^2 - x dx

=\left [-\frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + x\right ]_{0}^\frac{1}{2}

= -\frac{2}{3}(\frac{1}{2})^3 - \frac{1}{2}(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})

=\frac{7}{12}U^2

--Dieguito 19:04 30 sep 2009 (CST)

Ejemplo # 5

Calcule el área dela region definida por:

 y = sin(\frac{\pi x}{2})
 y = x^2-2x
Intervalos de x=0 y x=2... Hola.jpg
 Ai = sin(\frac{\pi xi}{2})-(xi^2-2xi)

 Ai = sin(\frac{\pi xi}{2}) -xi^2+2xi)
 A \cong \sum_{i=1}^{n} sin(\frac{\pi xi}{2}) -xi^2+2xi \Delta xi

 A = \lim_{n\rightarrow \propto } \sum_{i=1}^{n} sin(\frac{\pi xi}{2}) -xi^2+2xi \Delta xi

 \int_{0}^{2} Sin(\frac{\pi x}{2}) - x^2 + 2x dx

Integramos por sustitucion la parte del Sin.....

 u = \frac{\pi x}{2}

 du = \frac{\pi}{2}dx

\frac{2}{\pi}du=dx

\frac{2}{\pi}\int_{0}^{2} Sin(u)du -\int_{0}^{2} x^2dx + \int_{0}^{2} 2x dx

Integramos.....

-\frac{2}{\pi} Cos(u) [0,2] - \frac{1}{3}x^3 [0,2] + x^2 [0,2]

Por El teorema fundamental del calculo.......

2\pi (cos\pi - cos0) - \frac{8}{3} + 4

 -\frac{4}{\pi} + \frac{4}{3} u^2

--Antonio Moran 20:09 30 sep 2009 (CST)tonymoran

Ejemplo # 6

Calcule el área dela región definida por:

 y = 5x - x^2
 y = x

Grafica.png


\left [ \left [ 5x_{i} - \left (x_{i})^2]\right )\right ] - x_{i} \right ]\Delta x = A_{i}

\sum_{i = 1}^{n} \left ( 5x_{i} - x_{i}^2 - x_{i} \right )\Delta x

\lim_{n \to \infty }\sum_{i = 1}^{n} \left ( 4x_{i} - x_{i}^2  \right )\Delta x

\int_{0}^{4}\left ( 4x_{i} - x_{i}^2 \right )dx

utilizamos el Teorema Fundamental del Calculo

2x^2 - 1/3 x^3
2(4)^2 - 1/3(4)^3
32 - 64/3
32/3 u^2

--Juliocm 20:40 30 sep 2009 (CST)

Ejemplo # 4

Calcule el área dela región definida por:

 y = 1 - 2x^2
 y = |x|

Ejemplo4(areas).JPG


Solución

Igualamos las ecuaciones para encontrar los intervalos en que crece el área delimitada:
tomamos |x| como positivo por ser el valor absoluto de |x|:

 x = 1 - 2x^2

 2x^2 + x - 1 = 0

factorizamos utilizando el metodo cuadratico:

 x = -1

 x = \frac{1}{2}

pero como la recta de la que depende el área es |x| (el valor absoluto de x) es positiva evaluamos en 0, y los intervalos nos qudan: [0,\frac{1}{2}]

Ahora evaluamos el área sub i  A_i

 A_i = (1-2x_i^2 - x_i)\Delta x_i

Ahora para aproximarnos mas al área evaluamos el límite:</tex>

 A = \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n} [1-2x_i^2 - x_i]\Delta x_i

Ahora calculamos la integral:

 A = \int_{0}^\frac{1}{2} 1 - 2x^2 - x dx

=\left [-\frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + x\right ]_{0}^\frac{1}{2}

= -\frac{2}{3}(\frac{1}{2})^3 - \frac{1}{2}(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})

=\frac{7}{12}U^2

--Dieguito 19:04 30 sep 2009 (CST)

Ejemplo # 7

Calcule el área dela región definida por:

 y = x+1
 y = 9-x^2
Hola1.jpg
Intervalos de x=- y x=2...  Ai = (9-xi^2)-(xi+1)

 Ai = (9-xi^2-xi-1)
 A \cong \sum_{i=1}^{n} 8-xi^2-xi\Delta xi

 A = \lim_{n\rightarrow \propto } \sum_{i=1}^{n} 8-xi^2-xi\Delta xi

 \int_{-1}^{2} 8-x^2-x dx

Integramos..........

8x -\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2 [-1,2]

Por El teorema fundamental del calculo.......

8(2)-\frac{1}{3}(2^3)-\frac{1}{2}(2^2)-[8(-1) -\frac{1}{3}(-1)^3-\frac{1}{2}(-1)^2]

 \frac{39}{2}U^2

--Antonio Moran 21:07 30 sep 2009 (CST)tonymoran

Ejemplo # 8

Calcule el área de la region definida entre las gráficas :

 f(x) = 2-x^2
 g(x) = x

Area1.JPG

En la figura observamos que las graficas de f y g tienen dos puntos de interseccion. Para determinar estos puntos, hacemos f(x)=g(x) y despejamos x :

Igualar f(x) con g(x)
 2-x^2 = x

Expresar en forma canonica
 -x^2-x+2=0

Factorizar
 -(x+2)(x-1)=0

Despejar x
 x=-2

o
 x= 1

Asi pues, a=-2 y b=1 y el area de la region resulta ser :

 \int_{-2}^{1} 2-x^2 dx

integramos :

-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+ 2x [1,-2]

Resultado:

\frac{9}{2}

--Mario Mendez 23:33 30 sep 2009

Ejemplo # 9

Calcule el area de la region definida entre las graficas :

 f(x) = x^2+2
 g(x) = -x
Puntos :
 x= 0
 x= 1

Area2.JPG

Y el area de la region :

 \int_{0}^{1} (x^2+2)-(-x) dx

integramos :

\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+ 2x [0,1]

\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+ 2

Resultado:

\frac{17}{6}

--Mario Mendez 23:51 30 sep 2009

Ejemplo # 10

Encontrar el área de la región:

y=sin (x), y=sin (2x), x=0, x=\frac{\pi }{2}

Titulo.png

Solución

 A= \int_{0}^{\frac{\pi }{3}}(sin 2x-sin x)\;dx + \int_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}(sin x - sin 2x)\;dx

 A= -\frac{1}{2}cos2x+cosx]_{0}^{\frac{\pi }{3}}+ \frac{1}{2}cos2x-cosx]_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}}

 A= \frac{1}{2}

Ejemplo # 11

Encontrar el área de la región:

  • y=senx,  y=e^x, x=0, x=\frac{\pi }{2}
Ejercicio.png

Solución

A=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}e^x-senx\;dx

A=\left [e^x-cosx\right]_{0}^{\frac{\pi }{2}}

A=\left (e^\frac{\pi }{2}+0  \right )-(1+1)

  • A=(e^\frac{\pi }{2}-2)

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