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Análisis de Sistemas en Espacio Fásico: Variables de Estado

De por WikiMatematica.org

Contenido

Variables de estado

Las variables de estado, que denotaremos como q_1(t), q_2(t), ..., q_n(t), son funciones del tiempo linealmente independientes entre ellas. Su utilidad radica en poder escribir cualquier sistema (descrito por una ecuación de IO) como un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden.


Con las variables de estado podemos formar dos sistemas: uno para describir la dinámica del sistema en sí, y el otro para poder obtener la lectura de respuesta del sistema.


El sistema utilizado para describir la dinámica del sistemas le llamaremos Ecuaciones Dinámicas.

 \underline{q'(t)} = A\underline{q'(t)} + B\underline{y(t)}


El sistema utilizado para obtener la lectura del sistema le llamaremos Ecuaciones de Lectura.

 \underline{x(t)} = C\underline{q'(t)} + D\underline{y(t)}


Observación:

Para un sistema cualquiera el número de variable de estado que serán necesarias para representar el sistema estará dado por el orden de la ecuación de input-ouput (I/O).


Ejemplo

Encontrar ecuaciones dinámicas y de lectura para el sistema con ecuación de input-output dada por:

\dddot{x}(t) + 6\ddot{x}(t) + 11\dot{x}(t) +6 x(t) = 6y(t)


Por la observación antes hecha, debemos tener tres variables de estado:  q_{1}(t), q_{2}(t), q_{3}(t) . Para representar las variables de estado utilizaremos un vector de la forma siguiente:

\underline{q(t)} = \begin{bmatrix}q_{1}(t) \\ q_{2}(t) \\ q_{3}(t) \end{bmatrix}


Ahora, debemos definir quiénes son las variables de estado,  q_{1}(t), q_{2}(t), q_{3}(t) , de alguna forma que cumpla que entre ellas deben ser linealmente independientes. La forma de definirlas puede ser cualquiera que se desee. Vamos a proponer una forma que es definirlas de la siguiente forma:

q_{1}(t) = x(t)

q_{2}(t) = \dot{x}(t)

q_{3}(t) = \ddot{x}(t)


Como nos interesa encontrar quiénes son las derivadas de las variables de estado, entonces tenemos:

\dot{q_{1}}(t) = \dot{x}(t) = q_{2}(t)

\dot{q_{2}}(t) = \ddot{x}(t) =  q_{3}(t)

\dot{q_{3}}(t) = \dddot{x}(t) =  ??


Recordemos la forma de las ecuaciones dinámicas y podemos ver que las derivadas de las variables de estado depende de las mismas variables de estado y de las funciones de entrada. Por lo tanto para encontrar quién es \dot{q_{3}}(t) vamos a despejar de la ecuación de input-output y sustituimos utilizando las definiciones de variables de estado:


\dot{q_{3}}(t) = \dddot{x}(t) = - 6 x(t) - 11\dot{x}(t) -6\ddot{x}(t) + 6y(t)

\dot{q_{3}}(t)= - 6 q_{1}(t) - 11q_{2}(t) -6q_{3}(t) + 6y(t)


Ahora tenemos el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:


\dot{q_{1}}(t) = q_{2}(t)

\dot{q_{2}}(t) =  q_{3}(t)

\dot{q_{3}}(t) = - 6 q_{1}(t) - 11q_{2}(t) -6q_{3}(t) + 6y(t)


Escribimos el sistema en notación de matrices y obtenemos las ecuaciones dinámicas:


\underline{q'(t)} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \\ -6 &-11 &-6 \end{bmatrix}\underline{q(t)} + \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 6 \end{bmatrix}y(t)


Para escribir las ecuaciones de lectura. Por la definición que hicimos sabemos que: q_1(t) = x(t) , por lo tanto podemos escribir las ecuaciones de lectura como:


x(t) = \begin{bmatrix}
1 &0  &0 
\end{bmatrix}\underline{q(t)} + 0\cdot y(t)


Observación

La forma en que se definieron las variables de estado del ejemplo anterior no es la única forma de poder hacerlo, uno puede hacerlo de cualquier forma arbitraria, solo debe tenerse cuidado que cumplen con las condiciones de ser linealmente independientes y que puedan escribir las ecuaciones dinámicas y de lectura con la forma que se presentaron.


A la forma en particular que se definieron las variables en este ejemplo se le conoce como Forma Normal de Frobenius (FNF), está y otras dos más serán estudiadas más adelante.

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