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Aplicaciones de la transformada de laplace

De por WikiMatematica.org

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Transformada De Laplace

Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la hacen útil en el análisis de sistemas lineales. Una de las ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de resolver.

Otra aplicación importante en los sistemas lineales es el cálculo de la señal de salida. Ésta se puede calcular mediante la convolución de la respuesta impulsiva del sistema con la señal de entrada. La realización de este cálculo en el espacio de Laplace convierte la convolución en una multiplicación, habitualmente más sencilla.

La transformada de Laplace toma su nombre en honor de Pierre-Simon Laplace.

La transformada de Laplace es al tiempo continuo lo que la transformada de Z es al discreto

Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral

La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).

Solución de ecuaciones diferenciales

La transformada de Laplace es útil para resolver ecuaciones diferenciales que involucran funciones f(t), periódicas, funciones discontinuas a trozos o deltas de Dirac.

Ejemplos

Ejemplo 1

Con la transformada de Laplace podemos resolver circuitos electronicos en este caso circuito RLC.

Circu.jpg

Iniciamos con la ecuacion

E(t)- R i(t)-L \frac{di}{dt}-\frac{1}{c}\int_{0}^{t}i(\tau )d\tau =0

Donde E(t) es la fuente, R el valor de la resistencia, L el valor del inductor y c el valor de la capacitancia

E(t)= R i(t)+L \frac{di}{dt}+\frac{1}{c}\int_{0}^{t}i(\tau )d\tau

R=2 ohm, L=0.1H,C=0.1F,E(t)=120t-120t U(t-1) Condicion inicial i(0)=0

Sustituimos los valores y nos queda

120t-120t U(t-1)=2i(t)+0.1 \frac{di}{dt}+10 \int_{0}^{t}i(\tau )d\tau

Aplicamos Laplace a toda la ecuacion y obtenemos

120[\frac{1}{s^2}-\frac{1}{s^2}e^{-s}+\frac{1}{s}e^{-s}]=2[I(s)+0.1 sI(s)+10\frac{I(s)}{s}

Multiplicamos 10s toda la ecuacion para simplificar

1200[\frac{1}{s}-\frac{1}{s}e^{-s}+e^{-s}]=20sI(s)+s^2 I(s)+100I(s)

I(s)=\frac{1200[\frac{1}{s}-\frac{1}{s}e^{-s}-e^{-s}]}{(s+10)^2}

I(s)=1200[\frac{1/100}{s}-\frac{1/100}{s+10}-\frac{1/10}{(s+10)^2}-\frac{1/100}{s}e^{-s}-\frac{1/100}{s+10}e^{-s}-\frac{9/10}{(s+10)^2}e^{-s}]

Aplicamos Laplace inversa

i(t)=12-12e^{-10t}-120te^{-10t}-12U(t-1)-12U(t-1)e^{-10(t-1)}-1080(t-1)e^{-10(t-1)}U(t-1)

Ejemplo 2

Resolver la siguiente Ecuacion Diferencial Transformada en ecuacion algebraica y'-3y=e^{2t}
Valor Inicial y(0)=1
Se transforma cada uno de los lados de la Ecuacion Utilizando Laplace

L(y')-3L(y)=L(e^{2t})

Se desarrolla Laplace segun el metodo de derivadas

sY(s)-1-3Y(s)=\frac{1}{s-1}

Se agrupan Y(s) de un lado de la ecuacion

Y(s)[s-3]=\frac{1}{s-1}-1

Utilizando fracciones parciales logramos obtener los valores necesitados

Y(s)=\frac{s-1}{(s-1)(s-3)}=\frac{-1}{s-2}+\frac{2}{s-3}

Sacar la Transformada Inversa de Laplace

y(t)=L(\frac{-1}{s-2})+L(\frac{2}{s-3})

Solucion

y(t)=-e{2t}+2e{3t}

Ejemplo 3

PROBLEMA DE VALOR INICIAL
Resuelva
y''-6y'+9y=t^{2}e^{3y}

Valores Iniciales
y'(0)=6, y(0)=2

SOLUCION

L(y'')-6L(y')+9L(y)=L(t^{2}e^{3y})
[s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)]-6[sY(s)-y(0)]+9[Y(s)]=\frac{2}{(s-3)^3}

Aplicando los valores Iniciales y simplificando obtenemos

(s^2-6s+9)Y(s)=2s-6+\frac{2}{(s-3)^3}
(s-3)^2Y(s)=2(s-3)+\frac{2}{(s-3)^3}
Y(s)=\frac{2}{(s-3)}+\frac{2}{(s-3)^3}

Aplicando Laplace Inversa Obtenemos

y(t)=2L[\frac{1}{(s-3)}]+\frac{2}{4!}L[\frac{4!}{(s-3)^5}]

Utilizando el primer teorema de traslacion sabemos que:

L^{-1}[\frac{4!}{s^{5}}]=t^{4}

Aplicando el desfase de s-3 seria igual a:

L^{-1}[\frac{4!}{s^{5}}]=t^{4}e^{3t}

Por con siguiente nuestra respuesta seria

y(t)=2e^{3t}+\frac{1}{12}t^{4}e^{3t}

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