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Aplicaciones de las integrales dobles

De por WikiMatematica.org

Ya hemos visto una aplicación de las integrales dobles: calcular volúmenes. Otra aplicación geométrica es hallar áreas de superficies y lo haremos en la siguiente sección. En esta sección, exploramos aplicaciones físicas como por ejemplo calcular masa, carga eléctrica, centros de masa y momento de inercia. Veremos que estas ideas físicas también son importantes cuando se aplican a funciones de densidad de probabilidad de dos variables aleatorias.

Contenido

Densidad y masa

Conociendo las integrales dobles, podemos considerar una lámina con densidad variable. Supongamos que la lámina ocupa una región D del plano xy y su densidad (en unidades de masa por área unitaria) en un punto (x,y) en D está dada por ρ(x,y), donde ρ es una función continua en D. Esto significa que

\rho\left ( x,y \right ) \approx  \lim_{}\frac{\Delta m}{\Delta A}

donde \Delta m y \Delta A son la masa y el área de un pequeño rectángulo que contiene a (x,y), y el límite se toma cuando las dimensiones del rectángulo se aproximan a 0. Para hallara la masa total m de la lámina, dividimos el rectángulo R que contiene a D, en sub-rectángulos Rij del mismo tamaño y consideramos que ρ(x,y) es 0 fuera de D. Si escogemos un punto (x*ij,y*ij) de Rij, entonces la masa de la parte de la lámina que ocupa Rij es aproximadamente ρ(x*ij,y*ij )\Delta A, donde \Delta A es el área de R(x*ij,y*ij. Si sumamos todas estas masas, obtenemos una aproximación a la masa total:

m = \sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{l}\rho \left ( x*_{ij},y*_{ij} \right )\Delta A

Si ahora aumentamos el número de sub-rectángulos, obtenemos la masa total m de la lámina como el límite del valor de las aproximaciones:

m = \lim_{k,l\to\infty}\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{l}\rho \left ( x*_{ij},y*_{ij} \right )\Delta A = \int _{D}\int \rho \left ( x,y \right )dA

Los físicos también consideran otros tipos de densidad que se pueden tratar en la misma manera. Por ejemplo, si una carga eléctrica se distribuye sobre una región D y la densidad de carga (en unidades de carga por área unitaria) está dada por σ(x,y) en un punto (x,y) en D, entonces la carga total Q está dada por

Q = \int _{D}\int \sigma  \left ( x,y \right )dA

Radio y Rotación

Su concepto implica al punto en el que la masa se concentra sin que los momentos respecto de los ejes cambien. Su nomenclatura obedece al orden del momento involucrado, su cálculo se hace en consideración del momento cruzado al eje respectivo, así, podemos decir que:

(\tilde{X}, \tilde{Y})
(\tilde{X}) = \frac {Iy}{m}

(\tilde{Y}) = \frac {Ix}{m}

Algunas otras Aplicaciones

El area de una región plana R en el plano xy viene dada por una integral doble.

area(R)= \int \int_{R}^{ }dxdy

El volumen V encerrado entre una superficie z = f(x,y)(> 0) y una region R en el plano xy es:

V=\int \int_{R}^{ }f(x,y)dxdy

Sea f(x,y) la función de densidad (=masa por unidad de área) de una distribución de masa en el plano xy. Entonces la masa total de un trozo plano R es:

M=\int \int_{R}^{ }f(x,y)dxdy

El centro de gravedad de la masa del trozo plano R anterior tiene coordenadas \bar{x},\bar{y} donde:

\bar{x}=\frac{1}{M}\int \int_{R}^{ } xf(x,y)dxdy, \bar{y}=\frac{1}{M}\int \int_{R}^{ } yf(x,y)dxdy

Los momentos de inercia Ix e Iy de la masa de R con respecto a los ejes x e y respectivamente son:

I_{x}=\int \int_{R}^{ }y^2f(x,y)dxdy; I_{y}=\int \int_{R}^{ }x^2f(x,y)dxdy;

Ejejemplo # 1 (Centro de Masa)

  • D = {(x,y)\mid 0\leq x\geq 2, -1\leq y\geq 1};     \rho(x,y) = x*y^{2}


m = \int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} x * y^{2}  dy dx = \frac{4}{3}

Mx = \int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} y*(x * y^{2})  dy dx = 0

My = \int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} x*(x * y^{2})  dy dx = \frac{16}{9}

x = \frac{My}{m} = \frac{4}{3}       y = \frac{Mx}{m} = 0

--Harry 22 22:36 26 sep 2010 (CST)

Ejejemplo # 2 (Centro de Masa)

  • D = {(x,y)\mid 0\leq x\geq a, 0\leq y\geq b};     \rho(x,y) = c * x * y


m = \int_{0}^{a}\int_{0}^{b} c * x * y  dy dx = \frac{a^{2} * b^{2} * c}{4}

Mx = \int_{0}^{a}\int_{0}^{b} y *( c * x * y^{2})  dy dx = \frac{a^{2} * b^{3} * c}{6}

My = \int_{0}^{a}\int_{0}^{1} x*(x * y^{b})  dy dx = \frac{a^{3} * b^{2} * c}{6}

x = \frac{My}{m} = \frac{2 * a}{3}       y = \frac{Mx}{m} = \frac{2 * b}{3}

--Harry 22 22:44 26 sep 2010 (CST)

Ejejemplo # 3 (Centro de Masa)

  • D = {(x,y)\mid 0\leq x\geq 1, 0\leq y\geq \sqrt{x}};     \rho(x) = x


m = \int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{x}} x dy dx = \frac{2}{5}

Mx = \int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{x}} y * x dy dx = \frac{1}{6}

My = \int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{x}} x * x dy dx = \frac{2}{7}

x = \frac{My}{m} = \frac{5}{12} y = \frac{Mx}{m} = \frac{5}{7}

--Harry 22 22:57 26 sep 2010 (CST)

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