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Aplicaciones de series de Taylor y Maclaurin

De por WikiMatematica.org


Suponemos que f(x) es igual a la suma de su serie de Taylor centrada en a:

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty } \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n

Según definida la notación T_{n}(x) para representar a la n-ésima suma de esta serie, y la llamamos polinomio de Taylor de n-ésimo grado de f es a:

T_{n}(x)=\sum_{i=0}^{\infty } \frac{f^{(i)}(a)}{i!} (x-a)^i

T_{n}(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+...+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

Puesto que f es la suma de Taylor, sabemos que T_{n}(x)\to f(x), cuando n\to \infty entonces se puede emplear T_{n} como aproximación de f:f(x)\approx T_{n}(x).

Contenido

CÓMO ESTIMAR EL TAMAÑO DEL ERROR


\left | R_{n}(x) \right |=\left |f(x)-T_{n}(x)  \right |

Hay 3 métodos posibles para calcular el tamaño del error:

1. Si disponemos de una graficadora, podemos graficar \left | R_{n}(x) \right | y con ellos estimar el error.
2. Si la serie es alternante, recurrimos al teorema de estimación de la serie alternante.
3. En cualquier caso posible usar la desigualdad de Taylor, que establece que si \left | f^{(n+1)}(x) \right |\leq M, entonces:

\left | R_{n}(x) \right |\leq \frac{M}{(n+1)!}\left | x-a \right |^{(n+1)}

Otras Aplicaciones:

Calculo de limites

Para el cálculo de lımites es útil recordar los conceptos de orden y de parte principal de un infinitesimo.  q(x) = \beta (x - a)^{\alpha} es la parte principal del infinitesimo f en x = a \Leftrightarrow\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{\beta (x - a)^{\alpha}} = 1 En este caso se dice que f es un infinitesimo de orden \alpha en  x = a.

Ejemplo

Calculemos \lim_{x\to 0} \frac{e^x-1-x-\frac{x^2}{2}}{senx-x} Utilizando los desarrollos de MacLaurin de las funciones que se encuentran tanto en el numerador como en el denominador, es decir, como; e^x-1-x-\frac{x^2}{2}=\frac{1}{6}x^3+r_{3}(x), con  \lim_{x\to 0}\frac{r_{n}(x)}{x^3}= 0
y senx -x = -\frac{1}{6}x^3+r'_{n}(x), con \lim_{x\to 0}\frac{r'_{n}(x)}{x^3}= 0
tenemos que \lim_{x\to 0} \frac{e^x-1-x-\frac{x^2}{2}}{senx-x} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{6}x^3+r_{3}(x)}{-\frac{1}{6}x^3+r'_{n}(x)}=-1

Estudio de extremos relativos

Antes de empezar a ver algunos ejemplos sobre este punto demostraremos el siguiente teorema: Sea f:I\to R tal que existen las f^{(n)}(a),f^{(n-1)} es continua en un  E(a) c I. si f'(a) = f''(a)...= f^{(n-1)}(a)=0 y f^{(n)}(a) \neq 0 entonces: Extremosrelativos.JPG Como f satisface las condiciones de la formula de Taylor, tambien lo hace la función f - f(a). El desarrollo de esta ultima función en Extremosrelativos2.JPG
señalada tiene lımite \frac{f^{(n)}(a)}{n!}. Por conservacion del signo existe un E(a) en el cual dicha expresion tiene el signo de \frac{f^{(n)}(a)}. Por lo tanto, dado que el signo en el E(a) mencionado de (x-a)^n es conocido y depende de la paridad de n, obtenemos lo afirmado en la tésis.

Ejemplo

Demostrar que la función f:f(x)=e^x-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6} tiene un minimo en  x=0.
Usando lo demostrado en el punto anterior, como f'(0)=f''(0)=f'''(0)=0 y f^{iv}(0)=1, tenemos que  f representa un minimo en relativo en x=0. El grafico seria el siguiente:
Graficaextremosrelativos.JPG

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