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Cálculo de Límites por medio de teoremas

De por WikiMatematica.org


Si c es una constante y existen los limites

\lim_{x\rightarrow a}f(x) y \lim_{x\rightarrow a}g(x)

entonces se cumplen los siguientes teoremas:


Contenido

Teorema 1

    \lim_{x\rightarrow a}[f(x)+g(x)]=\lim_{x\rightarrow a}f(x)+\lim_{x\rightarrow a}g(x)

El limite de una suma de funciones va a ser igual a la suma de los limites de cada una de las funciones.

Teorema 2

    \lim_{x\rightarrow a}[f(x)-g(x)]=\lim_{x\rightarrow a}f(x)-\lim_{x\rightarrow a}g(x)

El limite de una diferencia de funciones va a ser igual a la diferencia de los limites de cada una de las funciones.

Teorema 3

    \lim_{x\rightarrow a}[cf(x)]=c\lim_{x\rightarrow a}f(x)

El limite de una constante multiplicada por una funcion, sera igual a la constante multiplicada por el limite de la funcion.

Teorema 4

    \lim_{x\rightarrow a}[f(x)g(x)]=\lim_{x\rightarrow a}f(x)\lim_{x\rightarrow a}g(x)

El limite de la multiplicacion de funciones es igual a la multiplicacion de los limites de cada una de las funciones

Teorema 5

    \lim_{x\rightarrow a}\left [ \frac{f(x)}{g(x)} \right ]=\left [  \frac{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}{\lim_{x\rightarrow a}g(x)}\right ]

El limite de una division de funciones es igual a la division de los limites de cada una de las funciones.

Teorema 6

    \lim_{x\rightarrow a}\left [ f(x) \right ]^{n}=\left [ \lim_{x\rightarrow a}f(x) \right ]^{n}

El limite de una funcion elevada a n potencia, sera igual al limite de la funcion elevado a la n potencia.


Teorema 7

    \lim_{x\rightarrow a}c=c

El limite de una constante, es igual, a la misma constante.


Teorema 8

    \lim_{x\rightarrow a}x=a

El limite de x cuando x tiende hacia a de x es igual a a.

Teorema 9

    \lim_{x\rightarrow a}x^{n}=a^{n}
donde n es un entero positivo</br>

El limite de x elevado a la n es igual a a elevada a la n.

Teorema 10

    \lim_{x\rightarrow a}\sqrt[n]{x}=\sqrt[n]{a}

El limite de la raiz n de x es igual a la raiz n de a.

Teorema 11

    \lim_{x\rightarrow a}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}

El limite de la raiz n de una funcion, es igual a la raiz n del limite de la funcion.

Teorema 12

    Si f es continua en b y \lim_{x\rightarrow a}g(x)=b, entonces \lim_{x\rightarrow a}f(g(x))=f(b)=f\left (\lim_{x\rightarrow a}g(x)  \right )



Ejemplo

Evaluar el limite y justifique cada paso indicando las leyes(teoremas) de los limites apropiadas

\lim_{x\to 5}(4x^2-9x+12)

\lim_{x\to 5}(4x^2)-\lim_{x\to 5}(9x)+\lim_{x\to 5}(12) Por los teoremas 2 y 1

4\lim_{x\to 5}x^2-9\lim_{x\to 5}x+\lim_{x\to 5}12 Por el teorema 3

4(5^2)-9(5)+12 Por los teoremas 9, 8 y 7

100-45+12=67

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