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Calculo de φ(t)Modus de A

De por WikiMatematica.org

Contenido

Recordemos que

Ecuacion Secular

det[PI-A]=0


Pi valores propios o como los conocemos eigenvalores

Entonces evaluamos [PI-A]c = 0 para cada Pi

De esto obtenemos los vectores propios Ci para Pi

Con esto armamos la solucion transitoria

qT(t)=\sum^{n}_{i=1} Ci e^{Pit}


Modus de A

El modus de A o matriz modal de A se define como

R= \begin{bmatrix}C1 & C2 & ... & Cn\end{bmatrix}

Definimos


e^p^t= \begin{bmatrix}e^P^1^t & 0 & 0 & ... & 0 \\ 0 & e^P^2^t & 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & e^P^3^t & ... & 0 \\ . & . & . & . \\ . & . & . & . \\ . & . & . & . \\ 0 & 0 & 0 & ... & e^P^n^t\end{bmatrix}

qT(t)= Re^p^t c


Ejemplo:

Para el sistema

q'(t) = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ -2 & -3\end{bmatrix} q(t) + \begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}y(t)


Y(t) = tH(t)


PI-A = \begin{bmatrix}p & -1 \\ 2 & p+3\end{bmatrix}


det[PI-A]=0


(P+1)(P+2)=0


-->Valores propios


P1 = \begin{bmatrix}-1\end{bmatrix}

P2 = \begin{bmatrix} - 2 \end{bmatrix}


-->Vectores propios


C1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1  \end{bmatrix} C11

C2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -2  \end{bmatrix} C12


R = \begin{bmatrix} 1  & -1\\ -1 & -2  \end{bmatrix}


e^p^t = \begin{bmatrix} e^-t  & 0\\ 0 & e^-2^t  \end{bmatrix}


c = \begin{bmatrix} c1\\ c2 \end{bmatrix}


qT(t)= R e^p^t c = \begin{bmatrix} 1 & 1\\ -1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e^-t & 0\\ 0 & e^-2^t \end{bmatrix}\begin{bmatrix} C1 \\ C2 \end{bmatrix}


Por lo tanto obtenemos la solucion transitoria:


= \begin{bmatrix} 1 & 1\\ -1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} C1e^-t \\ C2 e^-2^t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} C1e^-t & + & C2e^-2^t \\ -C1e^-t & - & 2C2e^-2^t \end{bmatrix}


qT(t)= \begin{bmatrix} 1 \\ -1  \end{bmatrix} C11 e^-t \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix} C12e^-2^t


Recordemos que:

qT(t)= qT(t) + qE(t)

qT(t)= R e^p^t c

q(t)= R e^p^t c + qE(t)

q(0)= RTC + qE(0)

q(0) - qE(0) = RC


R^-1

R^-1 q(0) - R^-1 qE(0)  = c


Sustituyendo:

q(t) = R e^p^t [R^-1 q(0) - R^-1 qE(0)] + qE(t)



q(t) = R e^p^t R^-1 q(0) - R e^p^t R^-1 qE(0) + qE(t)


 \varphi(t) = R e^p^t R^-1 q(0)


La asociada es:


 qA(t) = - R e^p^t R^-1 qE(0)


 \varphi(t) = R e^p^t R^-1


Por lo tanto tenemos que:

\varphiA(t)= -R e^p^t R^-1 qE(0)  = -\varphi(t) qE(0)


 Φ(t)=Rе^(pt)R^-1 R=\begin{bmatrix} 1 & 1\\ -1 & -2 \end{bmatrix}

e^it=\begin{bmatrix} 1e^-t & 0 \\0 & e^-2t  \end{bmatrix}

R^-1=\begin{bmatrix} 2 & 1\\ -1 & -1 \end{bmatrix}

 \varphi(t)=\begin{bmatrix} 1 & 1\\ -1 & -2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1e^-t & 0 \\0 & e^-2t  \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 1\\ -1 & -1 \end{bmatrix}

 \varphi(t)=\begin{bmatrix} 1e^-t & e^-2^t \\-1e^-t & -2e^-2t \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 1\\ -1 & -1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2e^-t - e^-2t & e^-t -e^-2t \\-2e^-t + e^-2t & -e^-t +e^-2t \end{bmatrix}

q_T=Re^ptc

q_A=-Re^pt R^-1 q_e (0)= -\varphi(t)q_e(0)

\varphi(t)=Re^rt R^-1

Por lo tanto tenemos que:

q'(t)=\begin{bmatrix} -1 & -2\\ 0.5 & -1 \end{bmatrix}q(t)+\begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}Y(t)

y(t)=tH(t)

PI-A=\begin{bmatrix} p & 0 \\0 & p \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} -1 & -2\\ 0.5 & -1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} p+1 & 2\\ -0.5 & p+1 \end{bmatrix}

Ecuacion Secular:

det[PI-A]=0

(p+1)^2+1=0

(p+1)^2=-1

(p+1)=±i

Valores propios(eigenvalores):

p_1 = -1+i  p_2= -1-i

para          p_1=-1+i

\begin{bmatrix} i & 2 \\-0.5 & i \end{bmatrix}\begin{bmatrix} c_11 & c_21 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 0\end{bmatrix}

1) ic_11+2c_21=0

2) -0.5c_11+2c_21=0 // *-2i

2) ic_11+2c_21=0

c_21=-iC_11/2

c_1=\begin{bmatrix} 1 \\-i/2 \end{bmatrix}*c_11

para p_2=-1-i

\begin{bmatrix} -i & 2 \\-0.5 & -i \end{bmatrix}\begin{bmatrix} c_12 & c_22 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 0\end{bmatrix}

1) -ic_12+2c_22=0

2) -0.5c_11-ic_21=0 // *2i

2) -ic_11+2c_21=0

c_22=iC_12/2

c_2=\begin{bmatrix} 1 \\i/2 \end{bmatrix}*c_12

para p_1=-1+i

\begin{bmatrix} i & 2 \\-0.5 & i \end{bmatrix}\begin{bmatrix} c_11 & c_21 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 0\end{bmatrix}

1) ic_11+2c_21=0

2) -0.5c_11+2c_21=0 // *-2i

2) ic_11+2c_21=0 c_21=-iC_11/2

R_t=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\-i/2 & i/2 \end{bmatrix}


R^-1=\begin{bmatrix} 1/2 & i \\1/2 & -i \end{bmatrix}


e^pt=\begin{bmatrix} e^(-1+i)t & 0 \\0 & e^(-1-i)t \end{bmatrix}
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