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Cambio de variables en integrales múltiples

De por WikiMatematica.org

Contenido

Transformaciones

En el cálculo de una dimensión, es frecuente que usemos un cambio de variables (o una sustitución) para simplificar una integral. Al cambiar los papeles de x y u, podemos escribir la regla de la sustitución como:

\int_a^b f(x)dx = \int_c^d f (g(u))g^{\prime}(u)du

donde x=  g(u) y a=  g(c) , b=  g(d).

Otra forma de escribir la ecuación anterior es como sigue:

\int_a^b f(x) dx= \int_c^d f(x(u)) \displaystyle\frac{dx}{du}du

Un cambio de variables también puede ser útil en integrales dobles. Ya hemos visto esto en las transformación a coordenadas polares. Las nuevas variables r y \theta están relacionadas con las viejas variables x y y por las ecuaciones x=rcos(\theta) y y=rsin(\theta)

El cambo de variables entonces para una integral doble en coordenadas polares quedaría de la siguiente forma

\iint_{R}f(x,y)dA=\iint_{S}f(rcos(\theta),rsin(\theta))rdrd\theta

donde "S" es la región el el plano polar que representa a la superficie "R" en el plano cartesiano.

De una forma más general podemos decir que un cambio de variables es realizado debido a una transformación T del plano (u,v) al plano (x,y)

T(u,v)=(x,y) donde x y y están relacionadas con u y v mediante las ecuaciones
x=g(u,v) y=h(u,v)

Una transformación T no es más que una función cuyo dominio es un subconjunto de \mathbb{R}^2. Si T(u_1,v_1)=(x_1,y_1) entonces el punto (x_1,y_1) es la imagen de el punto (u_1,v_1). Si dos puntos no poseen la misma imagen entonces T es llamada una función uno a uno. La siguiente imagen ilustra una transformación de la región S en el plano uv. T transforma la región S en la región R en el plano xy llamada la imagen de S, que consiste de las imágenes de todos los puntos en S.

Cambios01.png

Si T es una transformada uno a uno, entonces tiene transformada inversa T^{-1} del plano xy al plano uv, pudiendo despejar de las ecuaciones anteriores para u y v

u=G(x,y) v=H(x,y)

Ejemplo #01

Si x=u^2-v^2 y y=uv encuentre la imagen de el cuadrado S=\{ (u,v)|0\leq u \leq1 \:,  0\leq v \leq1 \}

Cambios02.png

La transformación dibuja una imagen de la superficie S utilizando sus límites.El primer lado ,S1, es cuando v=0. Utilizando las ecuaciones obtenemos que x=u², y=0, obteniendo que 0≤x≤1. Con estro trazamos en el plano xy a S1 como el segmento de recta que va de (0,0) a (0,1).

El segundo lado, S2, es cuando hacemos u=1, sustituyendo en las ecuaciones obtenemos:

x=1-v2 y=2v

Si despejamos para obtener una curva conocida en el plano xy obtenemos que es la parábola x=1-\frac{y^2}{4} que va de (0,1) a (0,2).

Continuando con S3 (v=1) obtenemos que la representación en el playo xy corresponde a la parábola x=\frac{y^2}{4}-1 que va de (0,2) a (-1,0).

Por último al desarrollar la transformación para S4 encontramos que es el segmento de recta que va desde (-1,0) hacia (0,0).

Al identificar la superficie S nos movemos en sentido antihorario, por lo tanto al graficar en el plano xy nos moveremos en el mismo sentido, obteniendo una gráfica delimitada por dos parábolas y el eje x.

Cambios03.png

Cambios de variable en integrales dobles

Ahora veremos como se ve afectada un integral doble con un cambio de variable. Empezaremos con un pequeño rectángulo S en el plano uv cuya esquina inferior izquierda es el punto (u0,v0) y que tiene dimensiones Δu y Δv.

Cambios04.png

La imagen de nuestra región S es la región R en el plano xy, que tiene en uno de sus vértices con coordenadas (x0,y0)=T(u0,v0).

Cambios05.png

El vector

r(u,v)=g(u,v)\hat{i} +h(u,v)\hat{j}

es el vector posición de la imagen del punto (u,v). La ecuación correspondiente al lado inferior de la superficie S es v=v0, cuya imagen esta dada por la función vectorial r (u,v0). El vector tangente a (x0,y0) en la imagen de nuestra región viene dado por

\mathbf{r}_u =g_u(x_0,y_0)\hat{i}+h_u(x_0,y_0)\hat{j} =\frac{\partial x}{\partial u}\hat{i}+\frac{\partial y}{\partial u}\hat{j}
Cambios06.png

Podemos aproximar la imagen de la región R=T(s) por medio del paralelogramo formado por los vectores secante, como se puede apreciar el la figura anterior

\hat{a}=r(u_0+\Delta u,v_0)-r(u_0,v_0) y \hat{b}=r(u_0,v_0+\Delta v)-r(u_0,v_0)

Sabemos lo siguiente

\lim_{\Delta u \to 0} \frac{r(u_0+\Delta u,v_0)-r(u_0,v_0)}{\Delta u}

por lo que podemos concluir que r(u_0+\Delta u,v_0)-r(u_0,v_0) \approx  \Delta u \cdot r_u

de igual manera podemos decir que r(u_0,v_0+\Delta v)-r(u_0,v_0) \approx  \Delta v \cdot r_v

Esto significa que podemos aproximar R a través del paralelogramo formado por los vectores \Delta u \cdot r_u y \Delta v \cdot r_v. Por lo tanto podemos aproximar el área de la región R como el área de este nuevo paralelogramo.

Cambios07.png

Utilizando conocimientos anteriores podemos aproximar el área utilizando la siguiente ecuación

\left | (\Delta u \cdot r_u) \times (\Delta v \cdot r_v)  \right | = \left | (r_u) \times (r_v)  \right |\Delta u \Delta v

Computando el producto cruz de la ecuación obtenida tenemos lo siguiente

r_u \times r_v=\left | \begin{matrix} \hat{i}& \hat{j}  & \hat{k} \\ \frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial u}  & 0\\  \frac{\partial x}{\partial v}& \frac{\partial y}{\partial v}  & 0\end{matrix} \right |=\left | \begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial u}\\ \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial v}\end{matrix}  \right | \hat{k}=\left | \begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial u}\end{matrix}  \right | \hat{k}

La determinante que aparece en este cálculo es llamada el Jacobiano de la transformación y se le da una notación especial

Jacobiano

El Jacobiano de una transformación T, que está dada por x(u,v) y y(u,v), es

\\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\left | \begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}\end{matrix}  \right | =\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}-\frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u}

Utilizando esta definición podemos aproximar el área de 'R'

\Delta A \approx \left | \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} \right |\Delta u \Delta v

donde el Jacobiano es evaluado en (u0,v0)

Ahora dividiremos una region de S en el plano uv en rectángulos Sij y sus imágenes en el plano xy las llamaremos Rij

Cambios08.png

Aplicando la aproximación cada uno de los 'Rij, aproximamos el integral doble de f sobre R de la siguiente manera

\iint_{R}f_{(x,y)}dA \approx \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} f_{(x_i,y_i)}\Delta A \approx \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} f{(g_{(u_i,v_j)},h_{(u_i,v_j)})} \left | \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} \right | \Delta u \Delta v

donde el Jacobiano es evaluado en (ui,vj). Notamos que la doble suma es una suma de Riemann para formar el integral

\iint_{S} f{(g_{(u,v)},h_{(u,v)})}\left | \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} \right | du dv

Cambio de variables en integrales dobles

Suponga que T es una transofrmación C1 cuyo Jacobiano no es igual a cero y que mapea una región S en el plano uv a una región R en el plano xy. Suponga que f es continua sobre R y que R y S son regiones planas de tipo 1 o 2. Suponga que T es biyectiva, excepto quizás en los bordes de S. Entonces,

\iint_{R}f(x,y)dA=\iint_{S}f(x_{(u,v)},y_{(u,v)})\left | \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} \right |du dv

Este teorema nos indica que podemos cambiar un integral de "x y y a "u y v" expresando a x y y en términos de v y sustituyendo dA=\left | \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} \right | du dv

Como caso especial a este teorema se presentó anteriormente la transformación de coordenadas rectangulares a coordenadas polares. La transformación T que va del plano rθ al plano xy está dada por x=g(r,\theta)=r cos\theta y y=h(r,\theta)=r sin\theta. Esta transformación se puede apreciar mejor en la siguiente gráfica, donde vemos que como se mapea un rectángulo que esta en el plano rθ en el plano xy y viceversa.

Cambios09.png

Aplicando el conocimiento previo encontramos el Jacobiano de T que está dado por

\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta)}=\left | \begin{matrix}\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta}\end{matrix} \right |=\left | \begin{matrix}cos\theta & -rsin\theta \\ \sin\theta & rcos\theta\end{matrix} \right |=rcos^2\theta+rsin^2\theta=r>0

Entonces podemos deducirlo siguiente

\iint_{R}f(x,y)dxdy=\iintf(rcos\theta,rsin\theta)\left | \frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)} \right |drd\theta=\int_{\alpha}^{\beta}\int_{a}^{b}f(rcos\theta,rsin\theta)rdrd\theta

Ejemplo #02

Utilice el cambio de variables x=u^2-v^2, y=2uv para evaluar el integral doble \iint_{R}ydA, donde R es la region acotada por el eje x y las parábolas y^2=4-4x y y^2=4+4x tomando en cuenta que y\geq 0.

Este ejemplo se había hecho anteriormente, pero se desea emplear el teorema aprendido. Ya se encontraron los límites de integración, pero la razón de hacer un cambio de variables es que resulta más fácil evaluar el integral sobre la región S que sobre la región R.

Cambios03.png lo transformamos en Cambios02.png


Primero encontramos el Jacobiano:

\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\begin{vmatrix}\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2u & -2v\\ 2v & 2u\end{vmatrix}=4u^2+4v^2 > 0

Luego utilizando el teorema aprendido

\iint_{R}ydA=\iint_{S}2uv\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|dA=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}(2uv)4(u^2+v^2)dudv=

8\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}(u^3v+uv^3)dudv=8\int_{0}^{1}\left [\frac{1}{4}u^4v+\frac{1}{2}u^2v^3\right ]_{u=0}^{u=1}dv=

\int_{0}^{1}(2v+4v^3)dv=\left [ v^2+v^4 \right ]_{0}^{1}=2

Ejemplo #03

Evalúe el integral \iint_{R}e^{\frac{x+y}{x-y}}dA, donde R es la región trapezoidal con vértices en (1,0), (2,0), (0,-2) y (0,-1).

Como no es tan simple integrar la función dada se sugiera hacer un cambio de variables para facilitar el integral. Entonces haremos u=x+y y v=x-y.

Esto nos da una transformada del plano xy al plano uv, pero necesitamos despejar para x y para y. Si resolvemos el sistema de ecuaciones obtenemos lo siguiente: x=\frac{1}{2}(u+v) y y=\frac{1}{2}(u-v).

Se ilustra en la siguiente imagen la transformación que se está realizando

Cambios10.png

A continuación procedemos a encontrar el Jacobiano para poder encontrar la transformada

\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}\end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{vmatrix}=\frac{1}{2}
\int_{1}^{2}\int_{-v}^{v} e^{\frac{u}{v}}dudv = 1.76

Ejemplo #04

Evalúe la integral \int \int_{D}^{ } \frac{x+2y}{\cos (x+y)}, donde D es la región encerrada por; y=x, y=x-1, x+2y=1, x+2y=2, hacemos el cambio de variables que seria el siguiente: u = x+2y, v=x-y, después encontramos los puntos de intersección y serian los siguientes: (0,0), (2/3,2/3), (4/3,1/3), (2/3,/-1/3), si evaluamos los puntos (x,y) anteriores en nuestras ecuaciones de cambio de variables para poder graficar serian los siguientes: (0,0),(2,0),(2,1),(0,1), tenemos que encontrar ecuaciones x y y en funcion de u y v, nuestras ecuaciones despejadas serian: x = \frac{u+2v}{3},y= \frac{u-v}{3}.
Encontramos el jacobiano: \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}\end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\ \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \end{vmatrix}=\frac{1}{3}
\int_{0}^{2}\int_{0}^{1} \frac{u}{\cos v} \frac{1}{3} dvdu = 0.8175

Cambio de variables en integrales triples

Al igual que los cambios de variables en integrales dobles encontramos cambios de variables que nos son convenientes en integrales triples. El principio es el mismo ya que del plano xyz pasaremos al plano uvw. Para esto ahora el Jacobiano será la determinante de una matrix de 3x3.

\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}=\begin{vmatrix}\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial x}{\partial w}\\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial w}\\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial w} \end{vmatrix}

Entonces deducimos que cuando queremos hacer un cambio de variables en integrales triples hacemos lo siguiente

\iiint_{R}f(x,y,z)dV=\iiint_{S}f(x_{(u,v,w)},y_{(u,v,w)},z_{(u,v,w)})\left | \frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)} \right |dudvdw

Ejemplo #05

Encuentre la transformada para integrales triples en coordenadas esféricas

En este caso el cambio de variables está dado por las ecuaciones x=\rho sin\phi cos\theta , y=\rho sin\phi sin \theta y z=\rho cos\phi

Si computamos el Jacobiano obtenemos lo siguiente

\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}=\begin{vmatrix}sin\phi cos\theta & -\rho sin\phi sin\theta & \rho cos\phi cos\theta\\ sin\phi sin\theta & \rho sin\phi cos\theta & \rho cos\phi sin\theta\\ cos\phi & 0 & -\rho sin\phi\end{vmatrix} cos\phi(-\rho^2sin\phi cos\phi sin^2\theta-\rho^2sin\phi cos\phi cos^2\theta)-\rho sin\phi(\rho sin^2\phi sin^2\theta+\rho sin^2\phi cos^2\theta)= -\rho^2 sin\phi cos^2\phi -\rho^2 sin\phi sin^2\phi=-\rho^2 sin\phi

Si hacemos variar 0 \leq \phi \leq \pi entonces sabemos que sin\phi \geq 0, por lo que podemos decir \left | \frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)} \right |=\left | -\rho^2 sin\phi \right |=\rho^2 sin\phi

Para hacer el cambio de variables entonces utilizaremos lo siguiente

\iiint_R f(x,y,z)dV=\iiint_S f(\rho sin\phi cos\theta,\rho sin\phi sin\theta, \rho cos\phi)\rho^2 sin\phi d\rho d\theta d\phi

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