Campo de los Números Reales

De por WikiMatematica.org

Al "construir" la matemática, los números naturales, son una clase de equivalencia de conjuntos coordinables. Los números enteros son una clase de equivalencia de parejas ordenadas de números naturales. Los números racionales son una clase de equivalencia de parejas ordenadas de números enteros.

Los números irracionales son los elementos de la recta real que NO pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen un periodo definido.

De este modo ya pueden definirse los números reales que surgen de la unión de lo que son los conjuntos de números naturales, enteros, irracionales y racionales.

Los números reales son llamados campo de los números reales. Esto es por que son un grupo abeliano, es decir poseen la ley de cerradura, la conmutativa, asociativa, distributiva y poseen elementos neutros e inversos. Todos estos elementos hacen que los números reales sean un campo.

Contenido

1 Otras propiedades
2 Axiomas de los Números Reales
- 2.1 Los Elementos de Identidad
- 2.2 Los Elementos Inversos
3 Ejemplo # 1
4 Ejemplo # 2
5 11. NÚMEROS REALES.
6 ¿ Te Fue De Ayuda ?
7 Videos
8 Los Numeros Reales

Otras propiedades

Propiedad de los opuestos

Que dice

Ejemplo

-( -a ) = a

El opuesto del opuesto es el mismo número.

- ( - 9 ) = 9

(-a)( b)= a (-b)= -(ab)

El producto de reales con signos diferentes es negativo.

( -15) (2) = 15( - 2) = - (15 x 2)

= - 30

( - a)( -b) = ab

El producto de reales con signos iguales es positivo.

( -34) ( - 8) = 34 x 8

-1 ( a ) = - a

El producto entre un real y -1 es el opuesto del número real.

-1 ( 7.6 ) = - 7.6

Axiomas de los Números Reales

Axioma de los números reales (suma y resta)

Ley de cerradura

$Para \todo \ elemento \ a,b \ \epsilon \ R\ decimos \que:$

$a+b \ \epsilon \ R$
$a*b \ \epsilon \ R$

Axioma conmutativo

$Para \todo \ elemento \ a,b \ \epsilon \ R\ decimos\que:$

$a+b = b+a$
$a*b = b*a$

Axioma asociativo

$Si \ a,b \ y \ c \ \epsilon \ R\ \ decimos \ que:$
$(a + b) + c = a + (b + c)$
$(a * b) * c = a * (b * c)$

Axioma distributivo

$Si \ a,b \ y \ c \ \epsilon \ R\ \ decimos \ que:$
$a *(b + c) = ab+ ac$

Axioma del elemento neutro

$Los \ números \ R \ poseen \ como \ elemento \ neutro \ el \ 0 \ y \ el \ 1 \ (suma \ y \ resta \ respectivamente) \ entonces \ decimos \ que:$
$a+0=a$
$a*1=a$

Axioma del elemento inverso

$Si \ a \ \epsilon \ R\ existe \ un \ (-a) \ talque:$
$a+(-a)=0$

Axioma del numero inverso

$Si \ a \ esta \ en \ R \ y \ es \ diferente \ a \ 0 \ existe \ un \ elemento \ 1/a \ en \ R \ tal \ que:$
$a*(1/a)=1$

Los Elementos de Identidad

Los elementos identidad en los números Reales son:

Identidad para la adición o Neutro Aditivo: el neutro aditivo es el 0, ya cualquier número sumado con 0 da el mismo número.

  decimos que

Identidad para el producto o Neutro multiplicativo: el neutro multiplicativo es el 1, ya que cualquier número multiplicado con 1 da el mismo número.

  decimos que

Los Elementos Inversos

Los elementos inversos en los números reales son aquellos que al multiplicar un número por este, se obtiene la identidad.

Inverso Aditivo: ‘‘‘el inverso aditivo de $x$ es $-x$ pues al operar $x +(-x)$ se obtiene la identidad aditiva, que es 0.

  decimos que   (identidad aditiva)

Eso también es conocido como Sustracción.
La sustracción no cumple todas las propiedades que cumplen la suma y la multiplicación.

Propiedades de la Sustracción:

i) $-(-a) = a$
ii) $-(ab) = (-a)(b) = a (-b)$
iii) $-a = (-1) a$
iv) $(-a)(-b) = ab$

Identifica la propiedad:

5 ( 4 x 1.2 ) = ( 5 x 4 ) 1.2

14 + ( -14 ) = 0

3 ( 8 + 11 ) = 3 ( 8) + 3 (11)

( 5 + 7 ) 9 = 9 (7 + 5)

Aplica la propiedad indicada:

    *   5(x + 8) ; (conmutativa de suma)

    *   (3 x 6) 2 ; (asociativa de multiplicación)

    *   (9 + 11) + 0 ; (identidad aditiva)

    *   12(x + y) ; (distributiva)

   *   9(6 + 4) ; (conmutativa de multiplicación)

   *   (x + y) + z ; (asociativa de suma)

Ejemplo # 1

$1 - (2 - 3) = 2$ Λ $(1 - 2) - 3 = -4$ observamos que

$1 - (2 - 3) \neq (1 - 2) - 3$

Ejemplo # 2

propiedad asociativa 3(5)=5(3) 15=15 entonces la multipicación de reales es asociativa Entonces, la sustracción no es asociativa.

Inverso Multiplicativo: el inverso multiplicativo de $x$ es $1/x$ , pues al operar $x * 1/x$ obtenemos la identidad multiplicativa que es 1.

  decimos que   (identidad multiplicativa)

De donde podemos definir el Cociente como:

Si $b \neq 0$ entonces $\frac {a}{b}$ se define como: $a / b = a \frac {1}{b} = \frac {a}{b}$

De donde $a$ es el numerador y $b$ es el denominador. Esto también es llamado Fracción.
No todas las propiedades que se utilizan para la adición y multiplicación son validas para la división.

Propiedades de la División:

Para todas las fracciones $\frac {a}{b} Λ \frac {c}{d}$ , donde $b \neq 0$ y $d \neq 0$

i) Fracciones Equivalentes:

$\frac {a}{b} = \frac {c}{d}$ si y sólo si $ad = bc$

ii) Equivalencia para el signo

$- \frac {a}{b} = \frac {-a} {b} = \frac {a}{-b}$

iii) Cancelativa:

$\frac {ac}{bc} = \frac {a}{b} . c \neq 0$

iv) Adición y sustracción con común denominador:

$\frac {a}{b} + \frac {c}{d} = \frac {a + c} {b}$
$\frac {a}{b} - \frac {c}{d} = \frac {a - c} {b}$

v) Adición y sustracción con denominadores diferentes:

$\frac {a}{d} + \frac {c}{d} = \frac {ab + cd} {db}$

$\frac {a}{d} - \frac {c}{d} = \frac {ab - cd} {db}$

vi) Multiplicación:

$\frac {a}{b} . \frac {c}{d} = \frac {ac}{bd}$

vii) División:

$\frac {a}{b} / \frac {c}{d} = \frac {a/b} {c/d} = \frac {a}{b} . \frac {d}{c} = \frac {ad}{bc} . c \neq =$

viii) División de cero y división por cero:

a) $0 / b = \frac {0}{b} , b \neq 0$

b) $0 / 0 = \frac {0}{0}$ es indefinido

c) $a / 0 = \frac {a}{0}$ es indefinido , $a \neq 0$

Más Ejemplos números reales

propiedad asosiativa de la adición

$\left (3+5 \right )+2=3+\left ( 5+2 \right )$

propiedad conmutativa de la multiplicación

$\left ( 6+8 \right )y=y(6+8)$

propiedad distributiva

$\left (x+3)y+2=(xy+3y)+2$

propiedad de la identidad de la multiplicación

$(x+y)1=x+y$

propiedad del inverso de la adición

$(x+2)+[-(x+2)]=0$

propiedad del inverso de la multiplicación

$(y+z)[1/(y+z)]=1$ si $y+z\neq0$ Archivo:Http://www.edufuturo.com/getIm.php?s=79680.m 9 01 001.jpg&x=150&y=150 Archivo:GetIm.php

Notación de intervalo

La siguiente es una lista de varios tipos de intervalos con ejemplos. Intervalo Descripción Dibujo Ejemplo Cerrado [a, b] Conjunto de números x tales que a ≤ x ≤ b (incluye puntos extremos) [0, 10] Abierto (a, b) Conjunto de números x tales que a < x < b (excluye puntos extremos) (-1, 5) Semiabierto (a, b] Conjunto de números x tales que a < x ≤ b (-3, 1] [a, b) Conjunto de números x tales que a ≤ x < b [-4, -1) Infinito [a, +∞) Conjunto de números x tales que a ≤ x [0, +∞) (a, +∞) Conjunto de números x tales que a < x (-3, +∞) (-∞, b] Conjunto de números x tales que x ≤ b (-∞, 0] (-∞, b) Conjunto de números x tales que x < b (-∞, 8) (-∞, +∞) Conjunto de todos números reales (-∞, +∞)

Los puntos a y b del intervalo cerrado [a, b] se llaman sus puntos extremos. Intervalos abiertos no tienen pntos extremos, y cada intervalo semiabierto tiene un solo punto extremo; por ejemplo (-1, 3] tiene 3 como su punto extremo.

El orden estándar de operaciones

1. Paréntesis y rayas de quebrado Se calcula primero los valores de todas las expreciones entre paréntesis o corchetes (usando el orden estándar de operaciones) avancando de los paréntesis interiores hacía los exteriores, antes de usarlos en otras operaciones. En una fración se calcula por seperado el numerador y el denominador antes de hacer la división.

2. Exponentes A continuación, se eleva todos los números a las potencias indicadas.

3. Multiplicación y división Después, se hace todas las multiplicaciones y divisiones, avancando de izquierda a derecha.

4. Suma y resta Por último, se hace las sumas y restas de izquierda a derecha.

11. NÚMEROS REALES.

El conjunto formado por los números Racionales y los Irracionales, se llama conjunto de los números Reales. Se representa por la letra R

Cuando en una recta se representan los números racionales e irracionales se obtiene la recta real. Cualquier punto de la recta real representa un número real.

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