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Cilindros y superficies cuadráticas

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Cilíndricas

Las superficies cuádricas se tratan de primitivas matemáticas que responden a la ecuación:

Ax^2+By^2+Cz^2+Dx+Ey+Fz+G=0

Dependiendo de los valores de los coeficientes generamos: esferas, elipsoides, toros, hiperboloides, etc.

Esta ecuación de la representación de superficies cuádricas esta referida a ejes que no son de simetría (ejes arbitrarios), donde al menos uno de los seis primeros coeficientes es no nulo. Esta ecuación puede reducirse a una en la cual no figuren los productos entre las variables. Mediante una rotación adecuada de coordenadas, pueden eliminarse luego los términos que contienen las primeras potencias de las nuevas variables mediante una translación. Se llegara entonces a las ecuación mas simple para dicha cuádrica; esta ecuación es la ecuación canónica de la cuádrica.

Cuadráticas No Degeneradas

Entre las cuadráticas no degeneradas están las del tipo:

- Mx^2+Ny^2+Pz^2 = R^2 con R>0 {centradas}

- Mx^2+Ny^2 = Sz {no centradas}

Dentro de superficies cuádricas centradas no degeneradas se encuentran, esferas, elipsoides, hiperboloides de una y de dos hojas y entre las no centradas y no degeneradas se encuentran el paraboloide elíptico y el paraboloide hiperbólico. Dentro del estudio de las superficies cuádricas que estudiaremos se analizarán en su forma canónica.

Superficies cuadráticas

A continuación se ejemplificarán las principales superficies cuadráticas. Se utilizarán las que estén centradas para una mejor explicación. Para graficarlas veremos los cortes en los planos xy, yz, xz.

Elipsoide

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1


Plano xy:

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
Elipse cuad.jpg para a>b

Plano xz:

\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1
Elipse2 cuad.jpg para c>a

Plano yz:

\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1
Elipse2 cuad.jpg para c>b

Entonces si lo vemos en 3D obtenemos la siguiente gráfica:

Elipsoide.jpg

Hiperboloide

  1. Hiperboloide de una hoja:
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1

Plano xy:

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
Elipse cuad.jpg para a>b

Plano xz:

\frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1
Hiperbola1 cuad.jpg para c>a

Plano yz:

\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1
Hiperbola1 cuad.jpg para c>b

En 3D obtenemos la siguiente gráfica:

Hiperboloide1.jpg


  1. Hiperboloide de dos hojas:
-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1

Plano xy:

-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1
si hacemos z=0 no existe gráfica, por lo tanto hacemos z igual a un valor k y veremos que se irán formando elipses cuando k>c
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{k^2}{c^2}-1, y sabemos que conforme k aumente las elipses que se forman irán creciendo
Elipse cuad.jpg

Plano xz:

-\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1
Hiperbola2 cuad.jpg

Plano yz:

-\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1
Hiperbola2 cuad.jpg

En 3D obtenemos la siguiente gráfica:

Hiperboloide2.jpg

Conos

\frac{z^2}{c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}

Plano xy:

K=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}, si hacemos z=0 obtendremos un punto pero si z=k obtendremos elipses que van creciendo
Elipse cuad.jpg

Plano xz:

\frac{z^2}{c^2}=\frac{x^2}{a^2}
z=\pm \frac{c}{a}x
X cuad.jpg

Plano yz:

\frac{z^2}{c^2}=\frac{y^2}{b^2}
z=\pm \frac{c}{b}y
X cuad.jpg


En 3D obtendríamos la siguiente gráfica:

Cono.jpg

Paraboloide

\frac{z}{c}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}

Plano xy:

K=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}, si z=0 obtendremos un punto pero si z=k obtendremos elipses que irán creciendo
Elipse cuad.jpg

Plano xz:

z=\frac{c}{a^2}x^2
Parabola cuad.jpg

Plano xz:

z=\frac{c}{b^2}y^2
Parabola cuad.jpg

En 3D obtendríamos la siguiente gráfica:

Paraboloide.jpg


Cilindros

  1. Circular
x^2+y^2=r^2

Plano xy:

x^2+y^2=r^2
Circulo cuad.jpg

Plano xz:

x=\pm r
X const.jpg

Plano yz:

y=\pm r
X const.jpg

En 3D obtendremos la siguiente gráfica:

Cilindro c.jpg
  1. Parabolico
z = y^2

Plano zy

Parabola.gif

plano xz

z = 0 para cualquier valor de x

plano yx

z = 0 para cualquier valor de x

Plano 3D

Cilindro parabolico.jpg


Paraboloide Hiperbólico

\frac{z}{c}=\frac{x^2}{a^2}- \frac{y^2}{b^2}

Plano xy:

k=\frac{x^2}{a^2}- \frac{y^2}{b^2}

Hacemos \frac{z}{c}=k y obtenemos tres casos

k=0
X cuad.jpg
k>0
Hiperbola1 cuad.jpg
k<0
Hiperbola2 cuad.jpg

Plano xz:

z=\frac{c}{a^2}x^2
Parabola cuad.jpg

Plano yz:

z=- \frac{c}{b^2}x^2
Parabola neg cuad.jpg

En 3D obtendríamos la siguiente gráfica

Paraboloide hiper.jpg

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