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Coeficientes Indeterminados, Metodo de la Superposicion

De por WikiMatematica.org


http://www.youtube.com/playlist?list=PLAFn9q_BCao-HezTGuijvkcgRht-vR247

Para resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea

 a_{n}y^{n}+a_{n-1}y^{n-1}+...+a_{1}y^{'}+a_{0}y = g(x)


Debemos pasar por dos etapas:

i) Determinar la función complementaria,y_{c}.

ii) Establecer cualquier solución particular, y_{p}, de la ecuación no homogénea.


Entonces,la solución general en un intervalo es y = y_{c}+ y_{p}.

La función complementaria y_{c} es la solución general de la ecuación homogénea asociada  a_{n}y^{n}+a_{n-1}y^{n-1}+...+a_{1}y^{'}+a_{0}y = 0. El primero de dos metodos que debemos considerar para obtener una solución particular,y_{p}, se llama método de los coeficientes indeterminados.


La idea básica es una conjetura o propuesta coherente acerca de la forma de y_{p} originada por los tipos de funciones que forman el dato  g(x). El metodo es básicamente directo,pero está limitado a ecuaciones lineales no homogeneas, como la ecuación (i), en que


1. Los coeficientes  a_{i}, i = 0,1, . . . , n son constantes.


2.  g(x) es una constante k, una función polinomial, una función exponencial e^{\alpha x}, funciones seno o coseno como  sen (\beta x),  cos (\alpha x), o sumas y productos finitos de esas funciones.


Algunos ejemplos de las clases de funciones  g(x) adecuadas para nuestra descripción:  g(x)= 10 , g(x)= x^{2}-5x , g(x) = 15x - 6 + 8e^{-x},  g(x)= sen 3x - 5x cos 2x , g(x)= e^{x} cos x + e^{-x}(3x^{2}- 1) ,etc.:


Esto es, g(x) es una combinación lineal de funciones del tipo


 k (constante), x_{n}, Y_{n}e^{\alpha x},  Y_{n}e^{\alpha x} cos \beta x y  Y_{n}e^{\alpha x} sen\beta x,,


en donde n es un entero no negativo y \alpha y \beta ,son números reales. El método de los coeficientes indeterminados no se aplica a ecuaciones de la forma (i) cuando:


 g(x)= ln x , g(x)= 1/x , g(x) = tan x , g(x) = sen^{-1} x ,etc.:


El conjunto de funciones formado por constantes, polinomios, exponenciales,senos y cosenos tiene la notable propiedad de que las derivadas de sus sumas y productos son, de nuevo, sumas y productos de constantes, polinomios, exponenciales , senos y cosenos. Como la combinacion lineal de las derivadas  a_{n}y^{n}+a_{n-1}y^{n-1}+...+a_{1}y^{'}+a_{0}y = 0 debe ser idéntica a  g(x) , parece lógico suponer que y_{p} tiene la misma forma que  g(x) .



Ejemplo 1

Resolver  x^{"} + x^{'} - 6x = 6 .

Paso 1. Primero resolveremos la ecuación homogénea asociada

 x^{"} + x^{'} - 6x = 0 Factorizando encontramos los valores para \lambda .

\lambda_{1}= -3 ,\lambda_{2}= 2  
 y_{c}= Ae^{-3t}+ Be^{2t} 

Paso 2. Como la función  g(x) es una constante, supondremos una solución particular que también tenga la forma de una constante:

 y_{p}= C


 y_{p}^{'}= 0


 y_{p}^{"}= 0

Paso 3. Sustir valores para  y_{p}^{"} ,y_{p}^{'} y y_{p} en la ecuacion no homogenea.


 x^{"} + x^{'} - 6x = 6


 -6C = 6


 C = -1


 y_{p}= -1


Paso 4. Sustituir en la ecuacion para la solucion general.


y = y_{c}+ y_{p} y = Ae^{-3t}+ Be^{2t} - 1

Ejemplo 2

Resolver y'' + 4y' - 2y = 2x^{2} -3x +6

Primero resolveremos la ecuación homogénea asociada y'' + 4y' - 2y = 0 . Al aplicar la fórmula cuadrática tenemos que las raíces de la ecuación auxiliar m_{2} + 4m -2 = 0 son  m_{1} = -2 - \sqrt{6} . Entonces, la función complementaria es:
y_{c} = c_{1}e^{-(2 +\sqrt{6})x} + c_{2}e^{(-2 +\sqrt{6})x}

Como la función g(x) es un polinomio cuadratico, supondremos una solución particular que tambien tenga la forma de un polinomio cuadratico:
y_{p} = Ax^{2} + B(x) + C
Tratamos de determinar coeficientes A, B y C especificos para los que y_{p}sea una solucion. Si sustuimos el valor de Y obtenemos :
y'_{p} = 2Ax + B y y_{p}^{n} = 2A
de las dos ecuaciones obtendremos la siguiente ecuacion al sustituir en la primera:
y_{p} + 4y'_{p} - 2y_{p} = 2x^{2} - 3(x) + 6
Como se supone que esta ecuación es una identidad, los coeficientes de potencias de x de igual grado deben de ser iguales, por lo tanto:
 -2Ax^{2} + (8A -2B)x+ (2A + 4B -2C) = 2x^{2} -3x + 6
Resolvemos
-2A = 2,         8A - 2B = -3,       2A +4B -2C = 6

y obtenemos:
A = -1,    B = - 5/2 y C = -9, La solución particular es
y_{p} = -x^{2} - 5/2(x) - 9
La solución general de la ecuación dada es:

y' = y_{c} + y_{p} = c_{1}e^{-(2 +\sqrt{6})x} + c_{2}e^{(-2 +\sqrt{6})x} - x_{2} - 5/2x -9


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