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Coeficientes Indeterminados, Metodo del Anulador

De por WikiMatematica.org

Anteriormente planteamos que una ecuación diferencial lineal de orden n se puede escribir de la siguiente forma:

 a_{n}D^{n}y+a_{n-1}D^{n-1}y+...+a_{1}Dy}+a_{0}y = g(x)


en donde D^{k}y = d^{k}y/dx^{k}, k=0,1,.....,n . Cuando nos convenga, representaremos también esta ecuación en la forma L(x) = g(x), donde L representa el operador diferencial lineal de orden n:

 L = a_{n}D^{n}y+a_{n-1}D^{n-1}y+...+a_{1}Dy+a_{0}y 


La notación de operadores es más que un cambio de variables; en un nivel muy práctico, la aplicación de los operadores diferenciales nos permite llegar a una solución particular de ciertos tipos de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas.

Antes de hacerlo, necesitamos examinar dos conceptos. Factorizacion de Operadores y Operador Anulador.

Factorización de operadores

Cuando las a_{i} i = 0, 1, . . . , n son constantes reales, se puede factorizar un operador diferencial lineal siempre que se factorice el polinomio característico  a_{n}m^{n}+a_{n-1}m^{n-1}m+...+a_{1}m+a_{0} . En otras palabras, si r_{1}es una raíz de la ecuación

 a_{n}m^{n}+a_{n-1}m^{n-1}m+...+a_{1}m+a_{0} = 0


entonces L = (D - r_{1})P(D), donde la expresión polinomial P(D) es un operador diferencial lineal de orden n - 1; por ejemplo,


Si manejamos D como una cantidad algebraica, el operador D^{2} + SD + 6 se puede factorizar como (D + 2)(D + 3) o bien (D + 3)(D + 2). Así, si una función y =f(x) tiene segunda derivada,


 (D^{2} + SD + 6)y = (D + 2)(D + 3)y = (D + 3)(D + 2)y.


Lo anterior es un ejemplo de una propiedad general:

Los factores de un operador diferencial lineal con coeficientes constantes son conmutativos.


Una ecuación diferencial como y'' + 4y' + 4y = 0 se puede escribir en la forma

(D^{2} + 4D + 4)y = 0 o sea (D + 2)(D + 2)y = 0 o sea (D + 2)^{2}y = 0.

Operador anulador

Si L es un operador diferencial con coeficientes constantes y f es una función suficientemente diferenciable tal que
 L(f(x)) = 0


Se dice que L es un anulador de la función; por ejemplo, una función constante como y = k es anulada por D porque Dk = 0. La función y = x es anulada por el operador diferencial D^{2} porque la primera y segunda derivadas de x son 1 y 0, respectivamente. En forma similar, D^{3}x^{2} = 0, etcétera.

El operador diferencial D^{n} anula cada una de las siguientes funciones:
1, x, x^{2}, . . ., X^{n-l}


Como consecuencia inmediata de la ecuación y del hecho de que la diferenciaciónse puede llevar a cabo término a término, un polinomio  C_{0} + C_{1}X + c_{2}x^{2} + . . . + c_{n-1}x^{n-1}

Se puede anular definiendo un operador que anule la potencia máxima de x. Las funciones que anula un operador diferencial lineal L de orden n son aquellas que se pueden obtener de la solución general de la ecuación diferencial homogénea L(y) = 0.

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