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Convergencia absoluta y prueba de la razón

De por WikiMatematica.org


http://youtu.be/vCHXf4AtHDM

Contenido

Convergencia absoluta

Teorema de convergencia absoluta

Si la serie \sum \left | a_n \right | es convergente, entonces la serie \sum a_n es convergente.

Teorema de convergencia absoluta y convercencia condicional

1. \sum a_n es absolutamente converegente si \sum \left | a_n \right | converge.

2. \sum a_n es condicionalmente converegente si \sum a_n converge pero \sum \left | a_n \right | diverge.



Ejemplo # 1

Probar si \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^\frac{n(n+1)}{2}}{3^n} converge absoluta o condicionalmente


\sum_{n=1}^{\infty} \left |\frac{(-1)^\frac{n(n+1)}{2}}{3^n}  \right |=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n}


sabemos que \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n} converge


entonces diremos que la serie \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^\frac{n(n+1)}{2}}{3^n} converge absolutamente.

Ejemplo # 2

Probar si \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{ln(n+1)} converge absoluta o condicionalmente


\sum_{n=1}^{\infty}\left | \frac{(-1)^n}{ln(n+1)}\right |=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{ln(n+1)}


Utilizaremos la comparación en el límite para probar la convergencia o divergencia de la serie y utilizaremos la serie \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}

\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{ln(n+1)}}=\lim_{n \to \infty}\frac{ln(n+1)}{n}=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{1}{n+1}}{n}=0 ;


concluimos que

\sum_{n=1}^{\infty}\left | \frac{(-1)^n}{ln(n+1)}\right | diverge

entonces diremos que la serie \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{ln(n+1)} converge condicionalmente.

Prueba de la razón (Criterio del cociente)

Sea \sum a_n una serie con términos no nulos, entonces

1. \sum a_n es convergente absolutamente si \lim_{x \to \infty}\left | \frac{a_{n+1}}{a_n} \right |<1

2. \sum a_n diverge si \lim_{x \to \infty}\left | \frac{a_{n+1}}{a_n} \right |>1 o si \lim_{x \to \infty}\left | \frac{a_{n+1}}{a_n} \right |= \infty

3. La prueba no es concluyente si \lim_{x \to \infty}\left | \frac{a_{n+1}}{a_n} \right |=1


Ejemplo # 1

Pruebe si la serie \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{n^22^{n+1}}{3^n} converge o diverge.


\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{(n+1)^22^{n+2}}{3^{n+1}}}{\frac{n^22^{n+1}}{3^n}}= \lim_{n \to \infty} \frac{2(n+1)^2}{3n^2}= \frac{2}{3} \lim_{n \to \infty} \frac{2(n+1)}{2n}= \frac{2}{3} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1}= \frac{2}{3}


como \lim_{n \to \infty} \left | \frac{a_{n+1}}{a_n} \right |= \frac{2}{3}<1 , por el cirterio del cociente la serie \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{n^22^{n+1}}{3^n} converge.


Ejemplo # 2

Pruebe si la serie \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{2^n}{n!} converge o diverge.


\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{2^n}{n!}}= \lim_{n \to \infty}\frac{2^{n+1}n!}{2^n(n+1)!}= \lim_{n \to \infty}\frac{2}{n+1}=0


como \lim_{n \to \infty} \left | \frac{a_{n+1}}{a_n} \right |=0 <1, la serie \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{2^n}{n!} converge por el criterio del cociente

Ejemplo # 3

Probar si la serie converge o diverge:


  • \sum_{k = 1}^{\infty }\frac{2^k k!}{(k+2)!}



\sum_{k\to \infty } \frac{\frac{2^{k+1}(k+1)!}{(k+3)!}}{\frac{2^k k!}{(k+2)!}}  = \lim _{k \to\infty  }^{}\frac{2^{k+1}(k+1)!(k+2)!}{2^k k!(k+3)!}


 = \lim _{k \to\infty  }^{}\frac{2^{k+1}(k+1)!(k+2)!}{2^k k!(k+3)!} = 2\lim _{k \to\infty  }^{}\frac{k!(k+2)!}{k!(k+3)!} = 2\lim _{k \to\infty  }^{}\frac{(k+2)!}{(k+3)!}



= 2\lim _{k \to\infty  }\frac{k!(k+1)(k+2)(k+3)}{k!(k+1)(k+2)(k+3)} = 2\lim _{k \to\infty  }\frac{k+1}{k+3} = 2\lim _{k \to\infty  } \frac{1}{1} = 2


Entonces, por el criterio del cociente, como \lim_{k \to \infty} \left | \frac{k+1}{k+3} \right |= 2>1 , la serie \sum_{k = 1}^{\infty }\frac{2^k k!}{(k+2)!} también diverge




Ejemplo # 4

Pruebe si la serie \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{n!} converge o diverge


\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{n^n}{n!}}= \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)n^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^n}{n^n}



= \lim_{n \to \infty} \left (\frac{(n+1)}{n}   \right )^n= \lim_{n \to \infty} \left (1+ \frac{1}{n}   \right )^n



ahora para facilitar el calculo haremos lo siguiente y= \lim_{n \to \infty} \left (1+ \frac{1}{n}   \right )^n


ln (y)= \lim_{n \to \infty} n \cdot ln\left (1+ \frac{1}{n}   \right )^n


ln (y)= \lim_{n \to \infty} \frac{ln\left (1+ \frac{1}{n}   \right )^n}{\frac {1}{n}}



ln (y)= \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\cdot \frac{-1}{n^2}}{-\frac {1}{n^2}}


ln (y)= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1+\frac{1}{n}}=1


ln(y)=1

y=e


como \lim_{n \to \infty} \left | \frac{a_{n+1}}{a_n} \right |=e > 1 entonces decimos que por el criterio del cociente la sere \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{n!} diverge.

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