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Coordenadas Cilíndricas y Esféricas

De por WikiMatematica.org


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Contenido

Coordenadas Cilíndricas

En el sistemas de coordenadas cilíndricas un punto P del espacio tridimensional está representado por la terna ordenada (r,θ,z), donde r y el θ son las coordenadas polares de la proyección de P en el plano xy y z es la distancia dirigida del plano xy a P.

Ecuaciones para transformar de Cilíndricas a Rectangulares

  • x(r,\theta,z)=r\cos \left ( \theta \right )
  • y(r,\theta,z)=r\sin \left ( \theta \right )
  • z(r,\theta,z)=z



Las coordenadas cilíndricas son útiles en problemas que tienen simetría alrededor de un eje, en ese caso se selecciona el eje z de manera que coincida con el eje de simetría

Ecuaciones para transformar de Rectangulares a Cilíndricas

  • \theta\left ( x,y,z \right )=\tan^{-1}\left ( \frac{y}{x} \right )
  • r\left ( \ x,y,z \right )= \sqrt{x^{2}+y^{2}}
  • z(x,y,z)=z




Ecuaciones para transformar de Cilíndricas a Esféricas

  • \rho=\sqrt{r^{2}+z^{2}}
  • \theta = \theta
  • \phi =\tan^{-1}\left (  \frac{r}{z}\right )


El sistema de coordenadas esféricas es especialmente útil en problemas donde hay simetría alrededor de un punto, y el origen se pone en ese punto.

Ejemplo # 1

  • Convertir el Punto (3,-3,-7) a coordenadas cilíndricas.


Encontramos r


r=\sqrt{3^{2}+(-3)^{2}}\rightarrow \sqrt{18} \rightarrow 3\sqrt{2}
\therefore r=3\sqrt{2}

Ahora encontramos \theta


\theta=\tan^{-1}\left ( \frac{-3}{3} \right )
\theta=\tan^{-1}(-1) el cuadrante donde y es negativo (-3) y x es positivo (3) es el IV cuadrante.
\therefore  \theta=\tan^{-1}(-1)=-\frac{\pi}{4}

Ahora encontramos z:

z = z\;\;    z = -7


Entonces, el punto en coordenadas cilíndricas es: (3\sqrt{2},-\frac{\pi}{4},-7)

Ejemplo # 2

  • Convertir el punto \left (2,\frac{2\pi}{3},1 \right ) en coordenadas cilíndricas a coordenadas rectangulares.


Encontremos x


x=2\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)=2\left(-\frac{1}{2}\right)=-1

Ahora encontremos y

y=2\sin\left( \frac{2\pi}{3}\right)=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\sqrt{3}

Ahora encontremos z

z = z;   z = 1

Entonces, el punto en coordenadas rectangulares es: (-1,\sqrt{3},1)



Ejemplo # 3

  • Escribir la ecuación z=x^2+y^2 en coordenadas cilíndricas.


Sabemos que r^2=x^2+y^2 entonces sustituimos en la ecuación, obteniendo:


z=r^2 y ésta ecuación ya está expresada completamente en coordenadas cilíndricas, pues solo depende de z,r, y \theta

Coordenas Esféricas

Las coordenadas esféricas (ρ, θ, φ) de un punto P en el espacio, donde ρ =│OP│ es la distancia del origen a P, θ es el mismo ángulo que en las coordenadas cilíndricas, y φ es el ángulo entre el semieje positivo z y el segmento de recta OP. Note que

                             P≥ 0     0≤φ≤ π

El sistema de coordenadas esféricas es especialmente útil en problemas donde hay simetría alrededor de un punto, y el origen se pone en ese punto.


Dado un vector r del espacio tridimensional y tres planos que se cortan en el punto origen de r, se definen las coordenadas esféricas como los tres números que se obtienen desde las proyecciones ortogonales del vector sobre las tres aristas de intersección de los planos perpendiculares, por las relaciones siguientes:



  • x(\rho ,\theta ,\phi)=\rho\cos(\theta)\sin(\phi)
  • y(\rho ,\theta ,\phi)=\rho\sin(\theta)\sin(\phi)
  • z(\rho ,\theta ,\phi)=\rho\cos(\phi)



Sistema de Coordenadas Esfericas

Es el sistema de coordenadas esféricas un punto p del espacio que viene representado por un trío ordenado (\rho,\theta,\phi), donde:

1.- \rho es la distancia de P al origen, \rho><0.

2.- \theta es el mismo Angulo utilizado en coordenadas cilíndricas para r>0.

3.- \phi es el Angulo entre el semieje z positivo y el segmento recto (0,P), 0<\phi>\pi.

Nótese que las coordenadas primeras y terceras son siempre no negativas.



Coordenadas Esféricas

Ecuaciones para transformar de Esféricas a Rectangulares

  • x(\rho ,\theta ,\phi)=\rho\cos(\theta)\sin(\phi)
  • y(\rho ,\theta ,\phi)=\rho\sin(\theta)\sin(\phi)
  • z(\rho ,\theta ,\phi)=\rho\cos(\phi)



Ecuaciones para transformar de Rectangulares a Esféricas

  • \rho(x,y,z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
  • \phi(x,y,z)=\tan^{-1}\left ( \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} {z} \right )
  • \theta(x,y,z)=\tan^{-1} \left (  \frac{y}{x}\right )



Ecuaciones para transformar de Esféricas a Cilíndricas

  • r=\rho \sin \phi
  • \theta = \theta
  • z=\rho \cos \phi


Ejemplo # 4

  • Convertir el punto \left(2,\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3}\right) a coordenadas rectangulares.


x=2\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) =2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\sqrt{\frac{3}{2}}


y=2\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) =2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\sqrt{\frac{3}{2}}


z=2\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2}\right)=1


\therefore El punto en coordenadas rectangulares es: \left(\sqrt{\frac{3}{2}},\sqrt{\frac{3}{2}},1 \right ).

Ejemplo # 5

  • Convertir la ecuación rectangular a coordenadas cilíndricas.

 x^2+y^2+z^2=16


r^2=x^2+y^2


z=z


r^2+z^2=16


Ejemplo # 6

  • Convertir la ecuación rectangular a coordenadas esféricas.

 x^2+y^2+z^2=16


\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}

\rho^2=16


Ejemplo # 7

Describa la superficie cuya ecuación en coordenadas cilíndricas es z=r. Solución La ecuación dice que el valor z, o altura, de cada punto sobre la superficie es igual que r, la distancia del punto al eje z. Como θ no aparece, puede variar. Por lo tanto, cualquier trazo horizontal en el plano z+ k (K>)) es un circulo de radio k. estas trazas sugieren que la superficie es un cono. Esta predicción puede confirmarse si se convierte la ecuación en coordenadas rectangulares. De la primera ecuación tenemos

\  z^2=r^2= x^2+y^2

Reconocemos la ecuación \ z^2= x^2+y^2 como la de un cono circular cuyo eje es el eje z.

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Ejemplo # 8

Encuentre una ecuación rectangular para la superficie cuya ecuación esférica es ρ = senθsenφ Solución,

x^2 + y^2 + z^2 = ρ ^2 =ρ = senθsenφ = y

x^2 + ({y}-\frac{1}{2})^2 + z^2 = \frac {1}{4}

Que es la ecuación de una esfera con centro (0, \frac{1}{2}, 0) y radio \frac{1}{2}


Ejemplo # 9

Utilice una computadora para trazar la imagen del sólido que se obtiene al taladrar un agujero de radio 3, que pasa por el centro de una esfera de radio 4.

Solución,
Para que las ecuaciones resulten sencillas, escojamos el sistema de coordenadas de modo que el centro de la esfera se encuentre en el origen y el eje del cilindro que forma el agujero sea el eje z. Podríamos usar coordenadas cilíndricas o esféricas para describir el sólido, pero la descripción es más sencilla si empleamos coordenadas cilíndricas. Entonces, la ecuación del cilindro es r=3 y la ecuación de la esfera es x^2 + y^2 + z^2 = 16 o r^2+ z^2 = 16.Los puntos del solido se encuentran fuera del cilindro y dentro de la esfera, de modo que satisfacen las desigualdades.

3≤ r ≤ \sqrt{16 - z^2}

Para asegurar que la computadora trace solo las partes apropiadas de estas superficies buscamos su intersección resolviendo el sistema de ecuaciones r=3 y r =\sqrt{16 - z^2}

\sqrt{16 - z^2} = 3 → 16 - z^2 = 9  z^2 = 7 → z= ±\sqrt{7}

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