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Coordenadas Polares

De por WikiMatematica.org


http://youtu.be/1P370WtRnfw

Un Sistema de coordenadas representa un punto en el plano por medio de un par ordenado de numeros, llamados coordenadas. Elegimons un punto en el plano, al que llamamos polo(u origen) y lo identifcamos con 0. A continuacion trazmos un rayo( que es semirecta) que comienza en 0 y se denomina eje polar. Las coordenadas polares son un sistema de 2 dimensiones que sirven para encontrar puntos en un plano, llamado el plano polar cuando se trabaja en coordenadas polares, donde cada punto del plano polar está definido por una distancia o radio y un ángulo.

Contenido

Puntos en Coordenadas Polares

Se puede definir para cada punto un par de coordenadas  (r,\theta) donde r es la distancia que hay desde el origen del plano hasta el punto y  \theta es el ángulo medido desde el eje polar en sentido antihorario hasta la linea que atraviesa el punto desde el origen (el ángulo solo se trabaja en radianes).


Coordenadas polares.jpg



Para poder entender perfectamente como es que se utilizan las coordenadas polares en un plano podemos hacer la comparación con las coordenadas cartesianas donde los puntos están definidos por 2 ejes x y y denominados abscisa y ordenada respectivamente.

Coordenadas polares cart.jpg


Una idea de como se dibuja el plano de coordenadas polares

Polar.JPG

Graficar Coordenadas Polares

En un sistema de coordenadas rectangulares o cartesiano se puede localizar un punto con una sola pareja de puntos (x,y) estos valores son las distanicas dirigidas, partiendo del origen, desde los ejes x e y respectivamente. El origen es el punto donde se intersectan los dos ejes coordenados.


   Piza1.gif


Otra forma de representar puntos en el plano es empleando coordendas polares, en este sistema se necesitan un ángulo (\theta) y una distancia (r). Para medir q, en radianes, necesitamos una semirrecta dirigida llamada eje polar y para medir r, un punto fijo llamado polo.

   Piza2.gif



Si queremos localizar un punto (r,q) en este sistema de coordenadas, lo primero que tenemos que hacer es trazar una circunferencia de radio r, después trazar una línea con un ángulo de inclinación q y, por último, localizamos el punto de intersección entre la circunferencia y la recta; este punto será el que queríamos localizar.

A continuación localizamos varios puntos en el plano polar.



   Piza3.gif



Observa que hay tres circunferencias, todos los puntos sobre estas circunferencias tienen una distancia al polo igual al radio de ella. Lo único que hace falta es encontrar el ángulo de inclinación. Para medir el ángulo es necesario tomar en cuenta si este es positivo o negativo. Si es positivo hay que medirlo en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj y si es negativo, a favor del movimiento de las manecillas del reloj.


   Piza4.gif     Piza5.gif


Como ves los ángulos pueden ser negativos dependiendo de cómo se midan a partir del eje polar,



   Piza6.gif


también podemos tener distancias "negativas": ya que hayamos localizado el ángulo, la recta que parte del polo en esa dirección tendrán un radio positivo y los puntos que estén sobre la prolongación de esta recta en sentido contrario al polo tendrán un radio negativo. Por ejemplo:


  Piza7.gif


Con estos conceptos básicos de localización de puntos en el sistema de coordendas polares, podemos graficar funciones y no solo puntos. En este tipo de funciones la variable independiente es q y la dependiente es r, así que las funciones son del tipo r = r(q). El método para graficar estas funciones es el siguiente, primero graficamos la función r = r(q) en coordenadas rectangulares y apartir de esa gráfica trazamos la correspondiente en polares. Guiándonos con la dependencia de r con respecto a q.

Recordemos que q es la variable independiente y va de 0 a 2p generalmente. Por ejemplo la función r = q tiene como gráfica en rectangulares


                     Rectangulares                          Polares
   Piza8.gif    Piza9.gif


Gráficas en coordendas polares.


                                                  r=sin(2 \theta)
              Piza10.gif  Piza11.gif


                                                  r=sin(3 \theta)
             Piza12.gif Piza13.gif


FUENTE: http://dinamica1.fciencias.unam.mx

Conversiones Entre Coordenadas Polares y Cartesianas

Debido a que cualquier punto se puede representar tanto en coordenadas polares como en coordenadas cartesianas entonces existen formas de hacer la conversión entre ellas.


Si definimos un punto  P(r,\theta) en coordenadas polares con r la distancia entre el origen y el punto y  \theta el angulo desde el eje polar.

Conversion polares cartesianas.jpg



Conversión de Polares a Cartesianas

Aplicando trigonometría se obtienen las siguientes expresiones:


x=rcos\theta


x=rsin\theta


Conversión de Cartesianas a Polares

Aplicando el Teorema de pitágoras se obtienen las siguientes expresiones:


r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}


 \theta=tan^{-1}\left ( \frac{y}{x} \right )


Ejemplos

Ejemplo 1

Encontrar la ecuación cartesiana correspondiente a la ecuación r=3

x^2+y^2=9

Ejemplo 2

Encontrar la ecuacion cartesiada correspondiente a r=7sec(\theta)

Sabemos que la secante es el inverso del coseno y que si lo pasamos a multiplicar tendremos rcos(\theta)=7

y=7


Ejemplo 3

Conventir el punto (2,\pi/3) de coordenadas polares a cartesianas.

r=2 y \theta=\pi/3 por lo cual convertimos

x=rcos(\theta)=2cos(\frac{\pi}{3})=2\frac{1}{2}=1
y=rsin(\theta)=2cos(\frac{\pi}{3})=2\frac{\sqrt3}{2}=\sqrt3
el punto en coordenadas cartesianas (1,\sqrt(3))

Ejemplo # 4

Encontrar la ecuacion cartesiana correspondiente a  r=2csc(\theta)

sabemos que la cosecante es el inverso del seno por lo tanto reescrita la ecuacion nos queda de la siguiente manera. r= \frac {2}{sin(\theta)}

Si Multiplicamos por un 1 equivalente a  \frac {r}{r} Entonces la ecuacion nos quedaria de la siguiente forma  r= \frac {2r}{rsin(\theta)}

Sabemos que  rsin(\theta) es igual a  y si sustituimos en la ecuacion nos queda de la siguiente forma  r = \frac {2r}{y}

si pasamos a dividir la r del otro la do de la ecuacion entonces nos queda equivalente a  \frac {r}{r} = \frac {2}{y}

Entonces  1 = \frac {2}{y}

\therefore y = 2

--Wilder.montenegro 00:39 01 mar 2010

Ejemplo 5

Pasar las ecuaciones cartesianas a polares (1,-1).
r=\sqrt{(-1)^2+(1)^2}
r=\sqrt{2}
\theta=tan^{-1}\frac{-1}{1}
\theta=-\frac{\pi}{4}
. ({\sqrt{2},{-\frac{\pi}{4}}),({\sqrt{2},{-\frac{7\pi}{4}}),


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