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Criterio de la segunda derivada

De por WikiMatematica.org


Contenido

Definición de Derivada

Primero debemos recordar la definición de los que es una derivada: La derivada representa cómo una función cambia (valor de la variable dependiente) a medida que su entrada (valor de la variable independiente) cambia. Sabiendo eso y las propiedades de la derivada podemos proseguir al criterio de la segunda derivada.

Segunda Derivada

El Criterio o prueba de la segunda derivada es un teorema del cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos. Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba debe de tener un mínimo relativo. De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo debe de tener un máximo relativo de. La segunda derivada se escribe como la doble prima de f f''

Teorema

Sea f una función tal que {f}'(c)=0 y cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto que contiene a c.

  • Si f''(c)>0, entonces f(c) es un mínimo relativo.
  • Si f''(c)<0, entonces f(c) es un máximo relativo.
  • Si f''(c)=0, este criterio no decide y ha de recurrirse al criterio de la primera derivada.

Ejemplo 1

Hallar los extremos relativos de f(x)=-3x^2+5x^3.
Solución: Para empezar, hallamos los números críticos de f.

f'(x)=-15x^4+15x^2=15x^2(1-x^2)=0
x=-1,\; 0, \;1 Puntos criticos

Usando f''(x)=-60x^3+30x=30(-2x^3+x), podemos aplicar el criterio de la segunda derivada como sigue.

  • Para el punto (-1, -2) tenemos que f''(-1)=30>0 entonces el punto es un mínimo relativo.
  • Para el punto (1, 2) tenemos que f''(1)=-30<0 entonces el punto es un máximo relativo.
  • Para el punto (0, 0) tenemos que f''(0)= entonces el criterio no decide.

Puesto que el criterio de la segunda derivada no decide en el punto (0, 0), utilizamos el de la primera derivada. Como f crece a la izquierda y a la derecha de x = 0, (0, 0) no es máximo ni mínimo relativo. Aqui se puede ver la gráfica del función f(x)=-3x^2+5x^3.
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Ejemplo 2

f(x) = 4x^2 + x^3

f'(x) = 8x + 3x^2

f''(x) = 8 + 6x

Video Ejemplo

Ahí podemos observar el proceso de la solución para obtener la segunda derivada, con un ejemplo muy bien explicado.

Ejemplo 4

En este ejemplo se observa como se utiliza la segunda derivida en un problema de optimización.

maximizar A(b,h) = b*h

sujeto a: P(b,h) = 2b + 2h = 100

despejamos b en P(b,h), 2b = 100-2h

b = 100 - 2h

Ahora evaluamos: A(h) = ((100 - 2h) / 2) * h  =  (100h - 2h^2) / 2

Proseguimos con la primera derivada de A A'(h) = [(100-4h)(2)] / 4 ----> A'(h) = (200 - 8h) / 4

Ahora utilizamos el numerador para despejar h 200 - 8h = 0 ----> 200 = 8h ----> h = 200/8 = 25

Finalmente se utiliza la segunda derivida para determinar si efectivamente se a maximizado el Area.

A''(h) = -32 ----> sustituimos h y obtenemos que A''(25) = -32

como A''(25) < 0 determinamos que efectivamente, es un maximo relativo por lo tanto el Area fue correctamente maximizada.


Ejemplos de la segunda derivada

Ejemplo1

Empesamos definiendo algunas aplicaciones de la segunda derivada como por ejemplo, al encontrar los putos criticos de una funcion y evaluarlos en la segunda derivada nos podemos dar cuenta sin hacer mas procedimietos si es un maximo o un minimo con el que estamos trabajando.

Por ejemplo :
f(x) = 19x^2 + 3x + 1
f'(x) = 38x +3 = 0
 x = \frac{-3}{38}

Entonces tenemos un punto critico el cual podriamos hacer intervalos y evaluar en la funcion pero para ahorrarnos paso y ser mas practicos utilizamos la segunda derivada para ver si es maximo o minimo, entonces:

f'(x) = 38x +3 = 0
f''(x) = 38

En este ejemplo como pudimos apreciar la segunda derivada nos queda mayor a 0 por lo tanto es un minimi, y da la casualidad que no tubimos que evaluar para poder calculcar por eso es que aveces es mas facil utilizar el criterio de la segunda derivada para encontrar maximo o minimo.

(Solo segunda derivada).

Ejemplo2=

f(x) = senx + 1
f'(x) = cosx
f''(x)= - senx

Ejemplo3

f(x) = ln x
f'(x) = \frac{1}{x}
f''(x)= \frac{-1}{x^2}

Ejemplo4

f(x) = 6x^3 + 4x^2 + 7x + 3
f'(x) = 18x^2 + 8x + 7
f''(x)= 36x + 8

Ejemplo5

f(x) = cos^4(4x+3x^2) + senx
f'(x) = 4cos^3(4x+3x^2)* 6x+4 + cosx
f''(x)= 12cos^2(4x+3x^2)*6x+4 + 24cos^3(4x+3x^2) -senx
f''(x)= 12(cos^2(4x+3x^2)*6x+4 + 2cos^3(4x+3x^2)) -senx

Ejemplo 6

 f(x)=\frac {x+1} {3x}
 f'(x)=\frac {-1} {3x^2}
 f''(x)=\frac {2x} {3x^3}

Ejemplo 7

 f'(x)=\frac {e^x} {cos(x)}
 f'(x)=\frac {e^x(cos(x)+sen(x))} {cos^2(x)}
 f''(x)=\frac {2e^x(sen(x)cos(x)+1)} {cos^3(x)}

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