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Definición de Función

De por WikiMatematica.org


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Una función f de un conjunto D a un conjunto A es una correspondencia que asigna exactamente un elemento y de A a cada elemento x de D.
En otras palabras, una función es la que le asigna un dominio a cada elemento del contradominio


\begin{matrix} f:D \rightarrow A\\ \;\;\;\;\;  x \; \rightarrow f \; y \end{matrix}
Sean X y Y dos conjuntos no vacios. Una funcion de X a Y es una relacion que asocia a cada elemento de X exactamente un elemento de Y

Contenido

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN

Dato Clave: El conjunto X se llama dominio de la funcion. Para cada elemento x en X, el elemento correspondiente y en Y se llama valor de la funcion en x o imagen de x. El conjunto de todas las imagenes de los elementos del dominio se llama rango de la función.

Hay algunos elementos en Y que no son imagen de una x en X se dedicen que el rango de una funcion puede ser una subconjunto de Y. No Todas las relaciones entre dos conjuntos son funciones. Un ejemplo breve nos mostrara si una relación es función o no.

1. TABLAS DE DATOS

Examinemos los siguientes datos que relacionan un número "x" perteneciente al conjunto A={ -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} con su duplo ("2x"):

x -3 -2 -1 0 1 2 3 2x -6 -4 -2 0 2 4 6 Desde el punto de vista matemático se trata de una función que transforma el conjunto de números: A={ -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} en otro conjunto de números: B={-6, -4, -2, 0, 2, 4, 6}. Se dice que esta función actúa de la siguiente forma: f(x)=2x, y que la imagen de -2 es -4, y la de 3 es 6 (f(-2) = -4, f(3) = 6). Decimos que la imagen inversa de 2 es 1 y la de 4 es 2 (f-1(2) = 1, f-1(4) = 2).

Dominio Rango Mandy → 17 de marzo Juan → 6 de diciembre Alan → 25 de enero Nelson → Y efectivamente es una función. Porque cada elemento en el dominio corresponde a exactamente un elemento en el rango.(Vease que en el dominio Alan y Nelson, cumplen el mismo día(rango). Eso es posible por lo tanto es una función.

Ahora un ejemplo breve de lo que NO es una función. El dominio representa los amigos de Juan y el rango representa sus numeros de telefono Dominio Rango Charlie → 555-2345 Jhonatan → 549-9402 Sergio930-3956

555-8294                    

Fernando → 839-9013

Vemos que sergio tiene dos numero diferentes por lo tanto si se elige a Sergio del dominio no se le puede asignar un solo numero telefónico. Esto NO es una función porque cada elemento en el dominio no corresponde a exactamente un elemento en el rango. Una función es una transformación que asocia a cada número perteneciente a algún subconjunto de los números reales otro número real (uno sólo).

Por ejemplo la función f(x) = 1/x asocia a cada número real distinto de cero su inverso. El subconjunto formado por los números reales que tienen imagen, se llama dominio de la función. En este ejemplo el dominio está formado por todos los números reales distintos del cero. D(f) = R - {0}.

Por ejemplo la función f(x) = tiene por dominio al conjunto de los números reales mayores o iguales que cero, ya que la raíz de números negativos no se puede calcular.

A continuación vamos a ver algunos ejemplos para recordar los conceptos de imagen de un elemento, de imagen inversa y de dominio. Después recordaremos y experimentaremos con las gráficas de algunas funciones.

El elemento x de D es el argumento de f. El conjunto D es el dominio de la función. El elemento y de A es el valor de f en x (o la imagen de x bajo f) y se denota con f(x), que se lee "f de x". La imagen de f es el subconjunto R de A formado por todos los valores posibles f(x) para x en D. El conjunto de todas la imágenes de los elementos del dominio se llama rango de la función.

Una función es una relación entre dos variables, de forma que a cada valor de la variable independiente x\;, le asocia un único valor de la variable dependiente y\;, que llamaremos imagen de x\;. Decimos que y es función de x\; y lo representamos por y = f(x)\;\!


--KenRi 22:17 16 jul 2009 (UTC)

Para una función y= f(x), la variables x se llama variable independiente , por que se le puede asignar cualquiera de los valores permitidos por el dominio. La variable y se llama variable dependiente , por que su valor depende de x. La variable independiente también se llama argumento de la función.

Cuando no se específica concretamente el dominio de una función suponemos que es el conjunto de más grande de números reales para el cual la regla de la función tiene sentido. Este se le denomina dominio natural. Cabe mencionar que dentro de este conjunto se deben de excluir aquellos número que causarían una división dentro de cero o la raíz cuadrada de un número negativo.

Funciones pares y funciones impares:

Si  f(-x) = f(x) para toda x, entonces la gráfica de la función es simétrica respecto al eje y. Tal función se denomina función par .

Ejemplo:  f(x) =  x^2 - 2

Si  f(-x) = -f(x) para toda x, entonces la gráfica de la función es simétrica respecto al origen. Tal función se denomina función impar .

Ejemplo:  f(x) =  x^3 - 2x

Una función de la forma  f(x) = c , sonde c es una constante (un número real) , se denomina función constante. Su gráfica es una recta horizontal. La función  f(x) =  x se denomina función identidad . Su gráfica es una recta que pasa por el origen con pendiente de valor 1.

Cualquier función que se puede obtener a partir de las funciones constantes y la función identidad, mediante las operaciones de suma, diferencia y multiplicación , se denomina función polinomial.

Una función polinomial de primer grado o función lineal corresponde a la forma :  f(x) = Ax + b , y una función polinomial de segundo grado o función cuadrática corresponde a la forma :  f(x) = Ax^2 + Bx + C .

Los cocientes de funciones polinomiales se llaman funciones racionales. Una función algebraica explícita es aquella que puede obtenerse a partir de las funciones constantes y la función identidad por medio de las cinco operaciones ( suma, resta, multiplicación, división y extracción de raíces ).



Definición alternativa

Puesto que una regla de correspondencia generara pares de elementos, podemos definir una función de manera alternativa:

Una Función es un conjunto de pares ordenados(x,y) tales que no hay dos pares ordenados diferentes del conjunto que tienen el mismo primer elemento.

Ejemplos de función

Funcion.JPG [[Archivo: Funcion.JPG]]

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Dominio Y Rango De Una Funcion

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