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Definición de Sucesión

De por WikiMatematica.org


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Sucesión

Las sucesiones y las series infinitas juegan un papel básico en el análisis complejo y sus aplicaciones. Se verá que la mayor parte de las definiciones y los teoremas relacionados con las sucesiones, y series complejas, son muy semejantes a los correspondientes a las sucesiones y series reales.

Una sucesión es una función, se puede definir como una lista de números escritos en un orden definido.  (a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n},...) forman una sucesión infinita o, brevemente, una sucesión, y los números reciben el nombre de términos de la sucesión. Una sucesión cuyos términos son reales es una sucesión real. En ocasiones, es conveniente numerar los términos de una sucesión empezando con 0, con 2 o con algún otro entero.

En matemática es mas común trabajar con sucesiones infinitas.</tex> ¿Qué usamos analizar? Punto de acumulación, Monotonía, Conjunto de Cotas, Valores extremos. Las sucesiones son funciones  {f(n)} pero casi siempre se denotan de la forma  a_{n} o  (a_{n})_{n=1}^{\infty} .

Se dice que una sucesión converge al número c o que es convergente hacia el límite c cuando la sucesión tiene un solo punto de acumulación.

Si una sucesión no es convergente entonces se dice que es divergente o que diverge , esto quiere decir que tiene dos puntos de acumulación.

Monotonía: Se dice que una sucesión an es monótona creciente si an < an+1 análogamente se dice que una sucesión an monótona decreciente si an > an+1 y se dice que una sucesión es alternante cuando es creciente y decreciente al mismo tiempo.


Una sucesión es un conjunto ordenado de elementos que responden a una ley de formación.

Ejemplo: La sucesión  a_{n} = \frac {n}{n+1} puede ser interpretada graficando algunos de sus términos.

        Como podemos ver la sucesión tiende a 1 e inicia en .5.


Contenido

Cotas Superiores

Para una sucesión, si a_n es una sucesión, K \varepsilon R es una cota superior, ssi

                       \forall{n}  \in{} J      E K\geq a_n

La menor de las cotas superiores es llamada Supremo: Supa_n.

Si el supremo pertenece a la sucesión, entonces es llamado Maximo de la sucesión.


Maxa_i

Ejemplo

Conjuntos de cotas superiores = { x \ x >= 1 }
Supremo= 1
Maximo= no tiene por que el 1 no pertenece a la sucesión, solo tiende a pero nunca es 1.

Cotas Inferiores

Para una sucesión, si   a_n  es una sucesión, K \varepsilon R   es una cota inferior ssi

                       \forall{n}  \in{} J      E K\leq a_n



La mayor de las cotas inferiores es llamada infimo :     inf a_n

Si el infimo pertenece a las sucesión es llamado mínimo: mina_n   

Ejemplo

Conjuntos de cotas inferiores = { x \ x <= 0.5 }
Ínfimo = 0.5
Mínimo= 0.5

Ejemplo

Conjuntos de cotas inferiores = { x \ x >= 3 }
supremo = 3
Maximo= no tiene

Punto de acumulación

Si a_n es una sucesión, diremos que P  \in R es un punto de acumulación de la sucesión ssi:

                       \forall{\epsilon} > 0      \exists{} N  \in{} J      tal que     \left |{P - a_n}\right |\leq \epsilon  si n>N



Teorema: para que una sucesión tenga puntos de acumulacion debe estar acotada.

Si una sucesión tiene un solo punto de acumulación se dice que la sucesión es convergente y cuando una sucesión no es convergente decimos que es divergente esto quiere decir que tiene dos puntos de acumulación.

Ejemplo de punto de acumulación

Para ello tenemos que encontrar el limite cuando n->oo
\displaystyle\lim_{ n\to{}\infty} =  \frac {n}{n+1} =  \frac {n}{n(1+1/n)} =  \frac      {1}{1} = 1

Por lo tanto el punto de acumulación es 1.

Propiedades

Sea a_n y b_n sucesiones tales que

                      \displaystyle\lim_{ n\to{}\infty}{a_n = a}      y       \displaystyle\lim_{ n\to{}\infty}{b_n = b}



                  1)     Sn = a_n + b_n

                        \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{Sn = a+b}



                  2)     Si K \in{} R

                         e_n = K*a_n

                         \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{e_n = k*a}



                  3)     g_n = a_nb_n

                         \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{g_n = ab}



                  4)     c_n = \frac{{a_n}}{{b_n}}    si     b_n\neq 0

                         \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{c_n = \frac{a}{b}}



                  5)     Si a_n = a      \forall{} n\in{}J       (SUCESION CONSTANTE)

                          \displaystyle\lim_{N \to{}\infty}{a_n = a}

Sucesiones Divergentes y Convergentes

Si existe el \lim_{n\rightarrow 00}a_{n} se dice que la sucesion converge (o que es convergente).si no es asi , se dice que la sucesion diverge (o es divergente)


[[Archivo: Definiciones [editar] Definición abstracta [editar]

Clase de finitos o numerables objetos ordenados. Definición conjuntista [editar]

Una sucesión en un conjunto X es una enumeración de elementos de X, es decir una aplicación de \mathbb{N} en X. Notación

Notaremos por \left\{{x_n}\right\}_{n\epsilon\mathbb{N}} a una sucesión, donde x la identifica como distinta de otra digamos \left\{{y_n}\right\}_{n\epsilon\mathbb{N}}.

La notación es permisiva en cuanto a su modificación si realmente es necesario. Definición de término general

Llamaremos término general de una sucesión a x_n^{},donde {n\epsilon\mathbb{N}} indica el lugar que ocupa en dicha sucesión Definición de parcial

Llamaremos parcial de \left\{{x_n}\right\}_{n\epsilon\mathbb{N}} a una sucesión \left\{{x_{n_i}}\right\}_{n_i\epsilon\mathbb{N}} donde n_i^{}<n_{i+1}^{}]]

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