.

Derivación Implícita

De por WikiMatematica.org


Contenido

Derivación Implícita

En General las funciones se han presentado de la forma y=f(x), expresando una variable en terminos de la otra, pero se da el caso donde las 2 variables estan implicitas.

En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están expresadas en forma explícita, como en la ecuación dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.


Estrategia para la Derivación Implìcitas

1. Derivar ambos lados de la ecuación respecto de x


2. Agrupar todos los términos en que aparezca \frac{dy}{dx} en el lado izquierdo de la ecuación y pasar todos los demás a la derecha.


3. Sacar factor común \frac{dy}{dx} en la izquierda.


4. Despejar \frac{dy}{dx}, dividiendo la ecuación por su factor acompañante en la parte izquierda

Ejemplo # 1

si  x^{2} +y^{2}=25 , encontrar \frac{\mathrm{dy} }{\mathrm{d} x}.

Derivamos ambos lados de la ecuacion.

 \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(x^{2} +y^{2})= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(25)

  \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(x^{2}) + \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} (y^{2})= 0

Recordemos que y es una funcion de x por lo que al derivarla aplicaremos la regla de la cadena.

  2x+2y\frac{\mathrm{dy} }{\mathrm{d} x} =0

y resolvemos para \frac{dy}{dx}.


  \frac{\mathrm{dy} }{\mathrm{d} x} =-\frac{x}{y} 


--Jorgetr 22:54 16 jul 2009 (UTC)

Ejemplo #2

Encontrar y' de:

y=(cos(x))^{x}

aplicamos logaritmo natural en ambos lados de la ecuacion, para quitar el exponente x.
\ln (y) =\ln[(cos(x))^{x} ]

por leyes de los logaritmos.

\ln (y) = x \ln[(cos(x)) ]

derivamos implicitamente.

\frac{1}{y}y'=[\ln(cos(x))]+\frac{x}{cos(x)}(-sen(x))

\frac{1}{y}y'=[\ln(cos(x))]- (x)tan(x)]

despejamos y'-

y'=[\ln(cos(x))]- (x)tan(x)]*y

sustituimos y.

y'=[\ln(cos(x))]- (x)tan(x)](cos(x))^{x}

--Jorgetr 02:17 29 jul 2009 (UTC)

Ejemplo #3


xy^{2}+x^{2}y= 3

Derivamos implicitamente:

y^{2}+x2y y{}'+2xy+x^{2}y{}'=0

Dejamos y prima de un solo lado

x2yy{}'+x^{2}y{}'=-2y_{2}-2xy

Aplicamos Factor comun y prima

y{}'(x2y+x^{2})=-y^{2}-2xy

dividimos (x2y+x^{2}) de ambos lados

y{}'=-\frac{y^{2}-2xy}{x2y+x^{2}}

Ejemplo # 4

\frac{d}{dx}\left [ sen^{-1}(x) \right ]

 y=sen^{-1}(x)

 sen(y)=x
 y'cos(y)=1

y'=\frac{1}{cos(y)}

Cambiamos el cos(y) a funcion de el sen(y) que seria

=cos^2(y)+sen^2(y)=1

despejamos cos(y)

y'=\frac{1}{\sqrt{1-sen^{2}(y)}}

Respuesta:

 y'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}

--Antonio Moran 20:31 31 jul 2009 (CST)tonymoran

Ejemplo # 5

\frac{d}{dx}\left [ cos^{-1}(x) \right ]

 y=cos^{-1}(x)

 cos(y)=x
 -y'sen(y)=1

y'=-\frac{1}{sen(y)}

Cambiamos el sen(y) a funcion de el cos(y) que seria

=cos^2(y)+sen^2(y)=1

despejamos sen(y)

y'=-\frac{1}{\sqrt{1-cos^{2}(y)}}

Respuesta:

 y'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}

--Antonio Moran 20:35 31 jul 2009 (CST)tonymoran

Ejemplo # 6

\frac{d}{dx}\left [ tan^{-1}(x) \right ]

 y=tan^{-1}(x)

 tan(y)=x

 y'sec^{2}(y)=1

y'=\frac{1}{sec^{2}(y)}

Cambiamos el sec(y) a funcion de el tan(y) que seria

1+tan^2(y)=sec^{2}(y)

y'=\frac{1}{1+tan^{2}(y)}

Respuesta:

 y'=\frac{1}{1+x^{2}}

--Antonio Moran 20:40 31 jul 2009 (CST)tonymoran

Ejemplo # 7

\frac{d}{dx}\left [ ctan^{-1}(x) \right ]

 y=ctan^{-1}(x)

 ctan(y)=x

 -y'csec^{2}(y)=1

y'=-\frac{1}{csec^{2}(y)}

Cambiamos el csec(y) a funcion de el ctan(y) que seria

1+ctan^2(y)=csec^{2}(y)

y'=-\frac{1}{1+ctan^{2}(y)}

Respuesta:

 y'=-\frac{1}{1+x^{2}}

--Antonio Moran 20:45 31 jul 2009 (CST)tonymoran

Ejemplo # 8

\frac{d}{dx}\left [ sec^{-1}(x) \right ]

 y=sec^{-1}(x)

 sec(y)=x

 y'sec(y)tan(y)=1

y'=\frac{1}{sec(y)tan(y)}

Cambiamos el tan(y) a funcion de el sec(y) que seria

tan^2(y)=sec^{2}(y)-1

y'=\frac{1}{sec(y)\sqrt{sec^{2}(y)-1}}

Respuesta:

 y'=\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}

--Antonio Moran 20:52 31 jul 2009 (CST)tonymoran

Ejemplo # 9

\frac{d}{dx}\left [ csec^{-1}(x) \right ]

 y=csec^{-1}(x)

 csec(y)=x

 -y'csec(y)ctan(y)=1

y'=-\frac{1}{csec(y)ctan(y)}

Cambiamos el ctany a funcion de el csec(y) que seria

ctan^2y=csec^{2}y-1

y'=-\frac{1}{csec(y)\sqrt{csec^{2}(y)-1}}

Respuesta:

 y'=-\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}

--Antonio Moran 20:56 31 jul 2009 (CST)tonymoran

Ejemplo # 9

x^2y+xy^2=3x

x^2y'+2yx+2xyy'+y^2=3

x^2y'+2xyy'=3-y^2-2xy

y'(x^2+2xy)=3-y^2-2xy

y'=\frac{3-y^2-2xy}{x^2+2xy}


Ejemplo#10

x^2 + y ^2 = 1
2x + 2yy' = 0
y'=\frac{-2x}{2y}

Ejemplo#11

senx + cosy = senxcosy

cosx - senyy' = cosxcosy + cosyy'senx

-senyy'- cosyy'senx = cosxcosy - cosx

y' =\frac{-cosxcosy - cosx}{seny- cosysenx}


Ejemplo#12

cos(cos (cosx))

-sen(cos (cosx))*-sen (cosx)* -senx


Ejemplo#13

cos(7-2x)

sen(7-2x)*(-2)

Ejemplo#14

cosx/5

-senx*1/5

-1/5 senx

Ejemplo#15

 4x^2y - 3y = x^3 -1

4x^2\frac{dy}{dx} + y * 8x  - 3\frac{dy}{dx} = 3x^2

\frac{dy}{dx} ( 4x^2 - 3)= 3x^2 - 8xy

\frac{dy}{dx} =\frac{3x^2 - 8xy}{4x^2 -3}

Ejemplo#16

x^2 +5y^3 = x + 9

2 +  15y^2\frac{dy}{dx} = 1

\frac{dy}{dx} =\frac{1 - 2x}{15y^2}

Ejemplo#17

y^3 - xy^2 + cos xy = 9

 3y^2 y' - (x*2yy' + y^2*(1)) - (sen xy) ( xy' + y)= 0

 3y^2 y' - 2xyy' - y^2 - xy'(sen xy)  -y(sen xy)= 0

y' ( 3y^2   - 2xy - x sen xy ) = y^2 + y sen xy


Ejemplo#18

sen (xy^3)= 60x

cos (xy^3)(x * 3y^2 \frac{dy}{dx} + y^3) = 60

  3xy^2 * cos ( xy^3)\frac{dy}{dx}+ y^3 * cos (xy^3) = 60

\frac{dy}{dx} =\frac{60 - y^3 * cos (xy^3)}{3xy^2 * cos ( xy^3)}


Ejemplo 19

xy^2+x^3y = 1

y^2+ x2yy + 3x^2y + x^3y'= 0

 y' (x2y+x^3) = -3x^2y-y^2

 y' = \frac{-3x^2y-y^2}{x2y+x^3}

Busca mas temas

Loading


Anuncios