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Derivada de una transformada

De por WikiMatematica.org


Contenido

Teorema

\mathfrak{L}\left\{t^nf(t)\right\}= (-1)^n \frac{\mathrm{d^n} }{\mathrm{d} s^n} F(s)

Ejemplos

Ejemplo1

f(t)= t sen(2t)

Aplicando el Teorema de derivada de una transformada

n=1, F(s)= \mathfrak{L}\left\{sen 2t\right\}= \frac{2}{s^2+4}

 =(-1)^1 \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} s}\frac{2}{s^2+4}
</p><p><tex>= - (\frac{-4s}{(s^2+4)^2}

= \frac{4s}{(s^2+4)}

= \frac{4s}{s^4+8s^2+16}

Ejemplo2

f(t) = t e^{-10 t}

n=1 ,

F(s)= \mathcal{L}\left\{{\ t e^{-10 t}}}\right\}

\mathcal{L}\left\{{\ t e^{-10 t}}}\right\} = (-1)^{1} \frac{d}{ds} \frac{1}{s+10}

\mathcal{L}\left\{{\ t e^{-10 t}}}\right\}= \frac{-1}{(s+10)^2}

\mathcal{L}\left\{{\ t e^{-10 t}}}\right\}=\frac{1}{(s+10)^2}



Ejemplo 3

f(t)= t^{1} cos(2t)

n=1 ,

F(s)= \mathcal{L}\left\{{\ t cos(2t) }}\right\}

\mathcal{L}\left\{{\ t cos(2t) }}\right\}= (-1)^{1} \frac{d}{ds} \frac{s}{s^{2}+4}

\mathcal{L}\left\{{\ t cos(2t) }}\right\}=  \frac{s^{2}+4}{(s^{2}+4)^{2}}

Ejemplo 4

f(t) = t^{2} senh (t)

n=2 ,

F(s)= \mathcal{L}\left\{{\ t^{2} senh (t) }}\right\}

\mathcal{L}\left\{{\ t^{2} senh (t) }}\right\} =  (-1)^{2} \frac{d^{2}}{ds^{2}}\frac{1}{s^{2}-1}

\mathcal{L}\left\{{\ t^{2} senh (t) }}\right\} =\frac{2(3s^{2}+1)}{s^{2}-1}

Ejemplo 5

Resolver \mathcal{L}\left\{{\ t^{2} e^{2t} sen(6t)}}\right\}

Primero identificamos que G(S) = 0 y  F(S) = e^{2t}sen6t

ahora aplicando el teorema tenemos que: \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} s} \frac{6}{(s-2)^{2} + 36}

y alplicando la derivada obtenemos la respuesta \ \frac{-12(s-2)}{(s^{2}-4s + 40)^{2}}

Ejemplo 6

Calcular la transformada de Laplace de


f(t)=t sen(2t)


Primero identificamos de que manera podemos resolver la transformada de Laplace


Vemos que tiene la forma \mathcal{L}t^n f(t)= (-1)^n \frac{d}{ds} F(s)


que es de la forma derivada de una transformada, ahora que esta identificada, operamos


Primero, transformada de Laplace de \mathcal{L} sen(2t)=\frac{2}{s^2+4}= F(S)


(-1)^1\frac{d}{ds}(\frac{2}{s^2+4})


Aplicamos la derivada y obtenemos la respuesta.


-(-\frac{4s}{(s^2+4)^2})=\frac{4s}{(s^2+4)^2}

Videos Transformada de Laplace

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