.

Derivada direccional

De por WikiMatematica.org


http://www.youtube.com/playlist?list=PLAFn9q_BCao-xtV36gtuypYIPj4zMA3g1

Contenido

Definición

La derivada direccional de f en (x_{0},y_{0}) en la dirección de un vector unitario u= <a,b> es

       D_u f(x_0,y_0)= \lim_{h\to 0}\frac{f (x_0 + ha, y_0 + hb) - f(x_0,y_0)}{h}  

si el límite existe.

Teorema

Si f es una función diferenciable de x y y , entonces f tiene una derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario u= <a,b> y

                    D_{u} f(x,y)= f_{x}(x,y)a + f_{y}(x,y)b 


Nota: Si u= <a,b> es un vector unitario

a = cos \Theta

b = sen \Theta


Demostración: Si definimos una función g de la variable individual h por

g(h) = {f (x_0 + ha, y_0 + hb)}


entonces, por la definición de una derivada tenemos

g’(0)= \lim_{h\to 0}\frac{g(h)- g(0)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{f (x_0 + ha, y_0 + hb)- f (x_0,y_0)}{h}

Por otra parte podemos escribir g(h) = f (x,y), donde x= {x_0 + ha, y= y_0 + hb}, de modo que la regla de la cadena da

g’(h)=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dh} +\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dh} = {f_x(x,y)a + f_y( x,y)b}

si ahora podemos h=0, entonces x = x_0, y=y_0 y

g'(0) = {f_x (x_0 , y_0 )a + f_y (x_0 , y_0 )b }

comparando las ecuaciones veremos que
D_{u} f(x_0,y_0)= f_x(x_0,y_0)a + f_y(x_0,y_0)b

si el vector unitario u= <a,b> forma un ángulo θ con el eje x positivo (como se ve en la siguiente figura)
entonces escribimos u= <cosθ, senθ> y lfa formula se convierte en


D_{u} f(x,y)= f_x(x,y)cos\theta + f_y(x,y)sen\theta

Minimización de la derivada direccional

En una funcion "f" de tres variables, existen varias derivadas direccionales en un punto determinado. El siguiente teorema sirve para encontrar la dirección en que "f" cambia mas lento y encontrar la mínima razon de cambio.


--10007288 13:54 31 ago 2010 (CST)10007288 31/02/2010

Teorema

Al ser "f" es una función diferencial de tres variables, el valor mínimo de la derivada direccional  D_u f(x,y,z) es \left -| \nabla f(x) \right |. La dirección de menor incremento en la función "f" esta dado por \left - \nabla f(x,y,z) \right


--Kinglacho 23:33 30 sep 2010 (CST)

Maximización de la derivada direccional

En una función "f" de tres variables, existen varias derivadas direccionales en un punto determinado. El siguiente teorema sirve para encontrar la dirección en que "f" tiene una la mayor razón de cambio.


--10007288 14:02 31 ago 2010 (CST)10007288 31/08/2010

Teorema

Al ser "f" es una función diferencial de tres variables, el valor máximo de la derivada direccional  D_u f(x,y,z) es \left | \nabla f(x) \right |. La dirección de mayor incremento en la función "f" esta dado por \left  \nabla f(x,y,z) \right

Ejemplo # 1

Encontrar la derivada direccional D_u f(x,y) para:

  • f(x,y)= x^{3}- 3xy + 4y^{2}

y u es el vector unitario dado por el ángulo \theta = \pi/6


Cual es D_uf(1,2)?


Solución

Utilizando la primera ecuación


D_uf (x,y)= f_x (x,y)cos \tfrac{\pi}{6} + f_y(x,y) sen \tfrac{\pi}{6}


 =(3x^{2}- 3y) \frac{\sqrt{3}}{2} + (-3x + 8y)\frac{1}{2}


 = \frac{1}{2}\left [ 3 \sqrt{3}x^2- 3x + (8 - 3\sqrt{3})(y)  \right ]


Por tanto


D_u f(1,2) = \frac{1}{2} \left [ 3\sqrt{3} (1)^2 - 3(1) + (8- 3\sqrt{3})(2) \right ]


 = \frac{13 - 3 \sqrt{3}}{2}

Ejemplo # 2

  • Suponer que se está escalando una montaña cuya forma está dada por la ecuación z=1000-0.01x^2-0.02y^2 y sus coordenadas son: (60,100,764) . Calcular la dirección que debe tomar al principio para alcanzar la cima con más rapidez y su valor máximo.

Respuesta: Observar que de acuerdo a la definición, la derivada direccional se puede escribir como el producto punto de dos vectores

D_{u} f(x,y)= f_{x}(x,y)a + f_{y}(x,y)b
= \langle f_{x}(x,y),f_{y}(x,y) \rangle \cdot\langle a,b \rangle
= \langle f_{x}(x,y),f_{y}(x,y) \rangle \cdot u
El primer vector en este producto punto se presenta no sólo al calcular las derivadas direccionales, sino también en muchos otros contextos. Por eso se le da un nombre especial, Gradiente de f, y una notación especial (grad f o tambien  \nabla f , que se lee "el gradiente de f" )

a) \nabla z=\left \langle \frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y} \right \rangle
   \nabla z=\left \langle -0.02x,-0.04y \right \rangle _(_6_0_,_1_0_0_)
   \nabla z=\left \langle -1.2i,-4j \right \rangle
b) \left | \nabla z \right |=\sqrt{(1.4)^2+(4)^2}
   \left | \nabla z \right |=4.18

Ejemplo # 3

Determinar la derivada direccional de f en el punto dado en dirección que indica el ángulo \theta

  • f(x,y)=x^2y^3-y^2


En el punto: (2,1), y \theta=\frac{\pi }{4}


f(x,y)=x^2y^3-y^2 = z


\frac{\partial z}{\partial x}= 2xy^3_(_2_,_1_)=4


\frac{\partial z}{\partial y}= 3x^2y^2-2y_(_2_,_1_)=10


 a = cos \theta


 b = sen \theta


Entonces, sustituyendo obtenemos:


4cos\frac{\pi }{4}+10sen\frac{\pi }{4}=7\sqrt{2}

Ejemplo # 4

Resolver:


  • f(x,y) = x^2+y^2-2x-6y+14


Entonces, se obtienen los puntos críticos:


f_x = 2x-2; Igualamos a 0, y despejando x, nos quedaría x = 1


f_{y} = 2y-6; Igualamos a 0, y despejando y, nos quedaría y = 3


Nuestros nuevos puntos (1, 3), y finalmente: z = f(1, 3) = 4

Ejemplo # 5

Encuentre la derivada direccional de la función f en el punto dado en la dirección del vector v


  • f(x,y)= x^{2}y^{3}- 4y en el punto (2,-1), siendo: v = 2i+5j


Primero calculamos el vector gradiente en (2,-1)


\bigtriangledown f(x,y) = 2xy^{3}i + (3x^{2}y^{2}-4)j


\bigtriangledown f(2,-1) = -4i + 8j


Ahora, como v, no es unitario, entonces:


 u = \frac{v}{\ | \ v \ |} =  \frac{2}{\sqrt{29}}i + \frac{5}{\sqrt{29}}j



Entonces:

D_uf (x,y)= \bigtriangledown f(2,-1).u =  (-4i + 8j). (\frac{2}{\sqrt{29}}i + \frac{5}{\sqrt{29}}j)


D_uf (2,-1)= \frac{-4 . 2 + 8 . 5}{\sqrt{29}} = \frac{32}{\sqrt{29}}


Este resultado es la razón de cambio instantáneo cuando estamos en el punto v.

Ejemplo # 6

Encontrar la derivada direccional D_u f(x,y) para:


  • f(x,y)=\sqrt{5x-4y}

siendo u el vector unitario dado por \theta = -\pi/6


Cual es D_uf(4,1)?


Solución

Utilizando la primera ecuación:


D_uf (x,y)= f_x (x,y)cos \tfrac{-\pi}{6} + f_y(x,y) sen \tfrac{-\pi}{6}


 =\frac{5}{(2\sqrt{5(x)-4(y)})}\cos (-\pi /6)-\frac{2}{(\sqrt{5(x)-4(y)})}\sin (-\pi /6)


Entonces obtenemos:


D_u f(4,1) = \frac{5}{(2\sqrt{5(4)-4(1)})}\cos (-\pi /6)-\frac{2}{(\sqrt{5(4)-4(1)})}\sin (-\pi /6)


 = \frac{5\sqrt{3}} {16}+\frac{1}{4}

Ejemplo # 7

Encontrar la derivada direccional D_u f(x,y) para:


  • f(x,y)=x\sin (xy) siendo u el vector unitario dado por \theta = \pi/3 en el punto (2,0)


Solución

Utilizando la primera ecuación : D_u f(x,y)


 = f_x (x,y) \cos \frac{\pi}{3} + f_y(x,y) sen \frac{\pi}{3}

 =(xy\cos (xy)+\sin (xy))(\cos \frac{\pi}{3})+(x^2\cos (yx))\sin \frac{\pi}{3}


Entonces:


D_u f(2,0) = (2(0)\cos (2(0))+\sin (2(0)))(\cos \frac{\pi}{3})+(2^2\cos (2(0)))\sin \frac{\pi}{3}  = 2\sqrt{3}

Ejemplo # 8

Determinar la derivada direccional de la función en el punto dado en dirección que indica el ángulo \theta

  • f(x,y) = ye^{-x} en el punto (0,4) y siendo \theta = \frac{2 \pi }{3}


f_x = -e^{-x}y|_{(0,4)} = -4


f_y = -e^{-x}|_{(0,4)} = 1


Entonces, partiendo de: D_u f(x,y) = f_x \cos \theta + f_y \sin \theta


Obtenemos: D_u f(x,y) = -4 \cos \frac{2 \pi }{3} + 1 \sin \frac{2 \pi }{3}


 = D_u f(x,y) = 2.86



Ejemplo # 9

Determinar el gradiente de f , evaluarlo en el punto P y encontrar la razón de cambio de f en P en la dirección del vector u


  • f(x,y) = \sin (2x + 3y) en el punto (-6,4), siendo u = \frac{1}{2}(\sqrt{3i} - j)


u = <\sqrt{\frac{3}{2}}, -\frac{1}{2}>


f_x = 2\cos (2x + 3y)|_{(-6,4)} =  2


f_y = 3\cos (2x + 3y)|_{(-6,4)} =  3


y sabiendo que: \bigtriangledown f = <f_x, f_y>, obtenemos: \bigtriangledown f = <2, 3>


Entonces, la razón de cambio en la dirección del vector u es: u\cdot \bigtriangledown f

Obteniendo: <2,3>\cdot <\sqrt{\frac{3}{2}}, -  \frac{1}{2}> y la razón de cambio es: = <\sqrt{3}, - \frac{3}{2}>


Ejemplo # 10

Calcular la derivada direccional de la función f en el punto dado en la dirección del vector V


  • f(x,y) = 1 + 2x\sqrt{y} en el punto (3,4) y siendo</tex>


Unitarizando a V, obtenemos: \hat{V} = \frac{4i - 3j}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{4i}{5} - \frac{3j}{5}


Seguidamente:


f_x = 2\sqrt{y}|_{(3,4)} = 4


f_y = \frac{x}{\sqrt{y}} |_{(3,4)} = 3/2


Y sabiendo que \hat{V}\cdot \bigtriangledown f, se obtiene finalmente:<4/5, - 3/5> \cdot <4, 3/2>  = 3.2-0.9

Entonces D_\hat{V}f= 2.3

Video de Derivadas Direccionales de MIT (ver a partir del minuto 30)


Ejemplo # 11

encuentre la derivada direccional en el punto P, en direccion de V:

f(x,y)=3x-4xy+5y,  P(1,2)  V=1/2(i + \sqrt{3j})

unitarizamos el vector de la siguiente manera y solo tomamos los valores reales:

u= \frac{ 1 }{|V|} V = \frac{ 1  }{ \sqrt{(1/2)^2 + (1/2\sqrt{3})^2}} (1/2 , 1/2 \sqrt{3}) = (1/2,\frac{\sqrt{3} }{2})


Duf = a[Dx(x)] + b[Dy(y)]

derivadas parciales de la funcion:

 Dx= 3 - 4y = 3 - 8= -5


Dy=-4x + 5= -4 + 5= 1

sustituimos en Duf y encontramos la derivada dirreccional:

Duf= 1/2(-5) + \frac{\sqrt{3} }{2} (1)

Duf=-5/2 + \frac{\sqrt{3} }{2}= -1.63

Hersonjmc 12:47 31 ago 2010 (CST) hersonjmc

Ejemplo # 12

Encuentre la derivada direccional en direccion de u  = \cos \theta i + \sin \theta j

 f(x,y) = x^2  + y^2  , \theta= \frac{\pi}{4}

vector = \cos \frac{\pi}{4} i + \sin \frac{\pi}{4} j

Duf = a[Dx(x)] + b[Dy(y)]


derivada de la funcion respecto de "x" y "y":

 Dx= 2x

 Dy=2y

dejamos indicada la respuesta ya q no podemos sustituir los valores de un punto especifico:

Duf=\cos \frac{\pi}{4}(2x) + \sin \frac{\pi}{4}(2y)

--Hersonjmc 13:28 31 ago 2010 (CST)hersonjmc

Ejemplo # 13

encuentre el gradiente y el valor, maximo de la funcion en el punto A:

h(x,y)= x \tan(y), A(2,\frac{\pi}{4})

derivada respecto de "x" y "Y" de la funcion y sustituimos el punto A:

 Dx= \tan(y)=1

 Dy= x\sec^2(y)=4

el gradiente seria:

\hat{V}<1,4>

entonces el valor maximo de la funcion en dicho punto seria el modulo del vector gradiente:


|\hat{V}|=\sqrt{(1)^2+(4)^2}=\sqrt{17}

--Hersonjmc 13:54 31 ago 2010 (CST)hersonjmc


Ejemplo # 14

(a) Si  f(x,y)= xe^y determine la razon de cambio de "f" en el punto p(2,0) en la direccion de P a Q(1/2,2)

(b) ¿en que direccion "f" tiene la maxima razon de cambio? ¿cual es esta maxima razon de cambio?


(a) primero calcule el vector gradiente:

\nabla f (x,y) = \left\langle{f_{x},f_{y}\right\rangle = \left\angle{e^y,xe^y}\righ\rangle \nabla f(2,0) = \left\angle{1,2}\right\rangle El vector unitario en la direccion de  PQ = \left\langle{-1.5,2}\rigth\rangle es u=\left\langle{-3/5,4/5}\rigth\rangle, de modo que la razón de cambio de “f” en la dirección en la dirección de P a Q es D_{u}f(2,0) = \nablaf(2,0)*u= \left\langle{1,2}\right\rangle*\left\langle{-3/5,4/5}\rigth\rangle = 1(-3/5) + 2(4/5) = 1


(b) De acuerdo con el teorema , “f” se incrementa mas rapido en la direccion del vector gradiente \nablaf(2,0) = \left\langle{1,2}\right\rangle. La razón de máximo cambio es

\nablaf(2,0) = \left\langle{1,2}\rigth\rangle = 2.236

Ejemplo 15

La temperatura en un punto (x,y,z) en el espacio esta dado por:


 T= \frac{80}{1+x^{2}+2y^{2}+3z^{2}} donde T esta medido en grados Celsius x, y, z, están medidos en metros ¿en qué dirección aumenta más rápido la temperatura en el punto (1, 1, -2)? ¿cual es la máxima tasa de incremento?


gradiente calculado en un vector:


Fx = \frac{-160x}{\left (  1 + x^{2}+2y^{2}+3z^{2})}^{2}  Fy = \frac{-320y}{\left (  1 + x^{2}+2y^{2}+3z^{2})}^{2}


\left \langle\frac{-160x}\left ({1+1+2+12})^{2} \right \rangle

Ejemplo # 16

Calcule la derivada direccional de: f_{(x,y)}=\sqrt{x-y} en el punto: (5,1) con dirección: v=<12,5>

Sacamos la derivada parcial respecto de x, y valuamos en el punto \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{2\sqrt{x-y}}|_{(5,1)} = \frac{1}{4}

Sacamos la derivada parcial respecto de y, y valuamos en el punto \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{-1}{2\sqrt{x-y}}|_{(5,1)}= \frac{-1}{4}

Por ultimo sacamos la derivada direccional: D\hat{u}f_{(x,y)}=\frac{12}{4}-\frac{5}{4}=\frac{7}{4}



Ejemplo #17



Encuentre la derivada direccional de f(x,y,z)=xy+yz+xz, en el punto P(1,1,1), en dirección del vector V=2i+j-k

D_{u}f=\overline{\triangledown f}+ \widehat{u}

Donde \overline{\triangledown f}=<f_{x},f_{y},f_{z}>; \widehat{u}=\frac{V}{\left \| V \right \|}

Entonces obtenemos: f_{x(1,1,1)}=2; f_{y(1,1,1)}=2; f_{z(1,1,1)}=2

\widehat{u}=\frac{2}{16}(i,j,k);

D_{u}f_{(1,1,1)}=\left \langle 2,2,2 \right \rangle\cdot \left \langle \frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}} \right \rangle= \frac{1}{\sqrt{6}}(2*2+1*2-1*2)=\frac{4}{\sqrt{6}}

--JoshLpz 4:52 12 nov 2010 (CST)

Busca mas temas

Loading


Anuncios