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Derivadas de polinomios y funciones exponenciales

De por WikiMatematica.org


Contenido

Derivada de una Funciòn Constante


Sea c una costante, entonces:

  \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( c \right )=0 


Demostracion

Sea f(x)=1
f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{1 -1}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{0}{h}=0
--Jorgetr 16:49 30 jul 2009 (UTC)

Derivada de una variable


\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( x \right )=1 


Demostracion

Sea f(x)=x
f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{(x-h) -x}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{h}{h}=1
--Jorgetr 16:57 30 jul 2009 (UTC)

Regla de la Suma


Sean f, g funciones diferenciables, entonces:

  \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left [ f(x)+g(x) \right ]=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}f(x)+\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}g(x) 


Demostración


Sean f(x) y g(x) funciones derivables.

\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left [ f(x)+g(x) \right ]=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}f(x)+\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}g(x)

f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{(f(x)+h)+(g(x)+h) -f(x)+g(x)}{h}

f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{(f(x)+h)-f(x)+(g(x)+h) -g(x)}{h}

f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{(f(x)+h)-f(x)}{h}+\frac{(g(x)+h) -g(x)}{h}

f'(x)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}f(x)+\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}g(x)
--Jorgetr 17:08 30 jul 2009 (UTC)

Regla de la Diferencia


Sean f, g funciones diferenciables, entonces:

  \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left [ f(x)-g(x) \right ]=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}f(x)-\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}g(x) 


Demostración


Sean f(x) y g(x) funciones derivables.

\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left [ f(x)-g(x) \right ]=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}f(x)-\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}g(x)

f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{(f(x)+h)-(g(x)+h) -f(x)-g(x)}{h}

f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{(f(x)+h)-f(x)-((g(x)+h) +g(x))}{h}

f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{(f(x)+h)-f(x)-(g(x)+h) -g(x)}{h}

f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{(f(x)+h)-f(x)}{h}+\frac{(g(x)+h) -g(x)}{h}

f'(x)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}f(x)-\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}g(x)
--Jorgetr 17:15 30 jul 2009 (UTC)

Regla del producto

d/dx [f(x)g(x)]= f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

[[1]]

Regla de un cociente

d/dx [f(x)/g(x)] = f'(x)g(x)- f(x)g'(x)/[g(x)]^2

[[2]]

Regla de la Potencia


Sea n cualquier numero Real, entonces

  \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(x^{n})=nx^{n-1} 

es el exponente multiplicado con la variable, elevados al exponente menos uno



Regla del Multiplo Constante


Sea c una constante y f una funcion diferenciable entonces:

  \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left [ cf(x) \right ]= c\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}f(x) 

da como resultado la constante multiplicada por la derivada de la funcion


Derivada de la Funcion Exponencial Natural


  \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} e^{x}=e^{x}  


Resumen


\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(x)=1

\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(x^{n})=nx^{n-1}

\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}[cf(x)]=c d/dx f(x)

\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}[f(x) ± g(x)]=d/dx f(x) ± d/dx g(x)

\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(e^x )=e^x

\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}[f(x)g(x) ]=f(x)g(x)+f´(x)g´(x)

\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} [f(x)/g(x)]=(f´(x)g(x)-f(x)g´(x))/〖[g(x)]〗^2

Ejemplo

hallar la derivada de:  f(x)=x^{5}+4x^{3}-5x+25


Entonces, por la regla de suma y resta:

 f'(x)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}x^{5}+\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}4x^{3}-\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}5x+\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}25


Derivando termino por termino:
por la regla de la potencia \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}x^{5}= 5x^{4}
por la regla del multiplo constante y la regla de la potencia
\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}4x^{3}= 4(3)x^2=12x^2
por la regla del multiplo constante y la regla de la potencia
\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}5x=5(1)x^0=5
por la regla de la funciòn constante
\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}25=0
entonces uniendo los terminos, f'(x) es:


  f'(x)= 5x^4+12x^2-5 


--Jorgetr 03:20 16 jul 2009 (UTC)

Ejemplo # 2

y=3x+2e^x

y'=3+2e^x

Ejemplo # 3

y=x+\sqrt[5]{x^2}

y=x+x^\frac{2}{5}

y'=1+\frac{2}{5}x^\frac{-2}{5}

y'=1+\frac{2}{5\sqrt[5]{x^3}}

Ejemplo # 4

Derivar la siguiente funcion utilizando los teoremas f(x)=x^5+3x^3+ 3

aplicamos el teorema de la suma de las derivadas f'(x)=5x^4+9x^2

Ejemplo # 5

Derivar la siguiente funcion utilizando los teoremas f(x)=(x^5)(3x^3)+ 3

aplicamos el teorema de la multiplicacion y la suma de las derivadas recordado del terorema

d/dx(constante)=0

entonces la derivada de 3 es 0

f'(x)5x^4(3x^3)+(x^5)(9x^2)

y esta es nuestra funcion derivada utilizando el teorema de la multiplicacion y la suma

Ejemplo # 6

Derivar la siguiente función utilizando los teoremas f(x)=e^4+5x^4(3x^3)

aplicamos el teorema de la multiplicacion y la suma de las derivadas recordado del terorema

d/dx(e^x)=e^x

entonces la derivada de:

e^4 es e^4 e^4+20x^3(3x^3)+5x^4(9x^2)

y esta es la funcion derivada utilizando los teoremas de la multiplicacion, la suma y la e elevada a un exponente x

Ejemplo # 7

Derivamos la siguiente funcion usando los teoremas vistos anteriormente f(x)=2x^6-5x^5+7x+20

aplicamos el teorema de la suma y diferencia de las derivadas f'(x)=12x^5-25x^4+7


como el numero 20 es una constante al derivarlo se vuelve 0.

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Derivada De Una Funcion Exponencial

Derivada De Un Polinomio

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