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Derivadas en parametricas

De por WikiMatematica.org


http://youtu.be/i2O6HxC83aE

Contenido

Tangente y Normal de Curvas Definidas por Coordenadas Paramétricas

Para poder entender la tangente y normal de una curva en coordenadas paramétricas, es necesario recordar la definición de derivada en coordenadas cartesianas para adaptarla parametrizandola.


Derivada en Coordenadas Paramétricas

La derivada es la pendiente de la recta tangente a un punto P(x_{o},y_{o}) en la curva  f(x).

Derivada.jpg




lo que significa que:


 m=f'(x)


 m=y'


 m=tan(\alpha)


 y'=dy/dt






si parametrizamos la función  f(x) encontramos que:

   x = x(t)              t_a\leq t \leq t_b  

 y = y(t)

entonces si derivamos cada una de las componentes con respecto de  t obtenemos lo siguiente:

   \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}

utilizando otra notación que seria definiendo a \frac{dy}{dt}=\dot{y} y a \frac{dx}{dt}=\dot{x} entonces podemos denotar a la derivada en forma paramétrica de la siguiente forma:

  \frac{dy}{dx}=\frac{\dot{y}}{\dot{x}}

Segunda Derivada


\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\begin{bmatrix}
\frac{dy}{dx}
\end{bmatrix}=\frac{d\begin{bmatrix}
\frac{\dot{y}}{\dot{x}}
\end{bmatrix}}{dx}=\frac{\frac{d}{dt}\begin{bmatrix}
\frac{\dot{y}}{\dot{x}
\end{bmatrix}}}{\dot{x}}=\frac{\ddot{y}\dot{x}-\dot{y}\ddot{x}}{\dot{x}^3}
Mauro 21:33 16 feb 2010 (CST)

Ecuación de la Tangente

Para encontrar la ecuación de la normal en coordenadas paramétricas necesitamos tomar en cuenta la ecuación de la recta tangente en coordenadas cartesianas para luego parametrizar.

Tomando otra vez como referencia el punto  P(x_{o},y_{o}) y sabiendo también que  m=f'(x)


entonces si utilizamos la ecuación de la recta  y-y_{o}=m(x-x_{o}) obtenemos la siguiente ecuación:

 y=mx-mx_{o}+y_{o} que fácilmente la podemos sustituir a esta ecuación:

   y = y'(x_{o})x-y'(x_{o})x_{o}+y_{o}     ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE EN COORDENADAS CARTESIANAS


Entonces si parametrizamos con  x = x(t) y  y = y(t) obtenemos lo siguiente:

   x=t  
 y=\frac{\dot{y}(t_o)}{\dot{x}(t_o)}t-\frac{\dot{y}(t_o)x(t_o)}{\dot{x}(t_o)}+y(t_o) Ecuación de la Tangente en Paramétricas

Ejemplo #1

Encontrar una ecuación de la tangente a la curva en el punto dado.

  • x(t)= tn(t)
  • y(t)= sec(t)

\dot{x}=sec^{2}t
\dot{y}=sect*tant

\frac {\dot{y}}{\dot{x}}= \frac {sect*tant}{sec^{2}t}

tant=1

t = \pi/4

\dot{x}\left |t=\pi/4 =2

\dot{y}\left |t=\pi/4 =\sqrt{2}

 m = \frac{\sqrt{2}}{2}

La ecuacion de la recta tangente a la curva es:

 y -\sqrt{2}= \frac{\sqrt{2}}{2}(x-1)

 y= \frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}

--Antonio Moran 18:03 27 ene 2010 (CST)tonymoran Seccion B Mate III


Ejemplo # 2

La cicloide larga de ecuaciones se corta así misma en el punto (0,2)

  • x=2t-\pi sent
  •  y = 2-\pi Cost

Gráfica de la cicloide

Cicloide.jpg
Hayar las ecuaciones de las 2 rectas tangentes

\dot{x}=2-\pi cost
\dot{y}=\pi sent

\frac{\dot{y}}{\dot{x}} = \frac{\pi Sent}{2-\pi Cost}

 2 = 2-\pi Cost

Cost = 0

 t = \pi/2

 t= \frac{3\pi}{2}

\dot{x}\left |t=\pi/2 =2

\dot{x}\left |t=3\pi/2 =0

\dot{y}\left |t=\pi/2 =\pi

\dot{y}\left |t=3\pi/2 =-\pi

 m_{1}=\pi/2

 m_{2}=-\pi/2

 y_{1} = \frac{\pi}{2}x +2

 y_{2} = \frac{-\pi}{2}x +2

Gráfica de la cicloide con sus dos rectas tangentes

Cicloidetan.gif

Ejemplo # 3

Dada la curva de ecuaciones:

\ x = \sqrt{t}

\  y = \frac{1}{4}(t^{2}-4)

encontrar su pendiente:

\ \dot{x} = \frac{1}{2} t^{\frac{-1}{2}}

\  \dot{y} = \frac{1}{2} t

\  \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{1}{2} t}{\frac{1}{2} t^{\frac{-1}{2}}}

\  = t^{\frac{3}{2}

sustituir en parametrica y despejar t

\   t = 4

     4^{\frac{3}{2}} = 8

--Juniorr 22:00 30 ene 2010 (CST)

Ejemplo # 4

\ x = cos\theta

\ y = 3sen\theta

\ \theta = 0

\ \dot{x} = -sen\theta

\ \dot{y} = 3cos\theta

\ \frac{dy}{dx} = \frac{3cos\theta}{-sen\theta}

valuamos en cero y obtenemos

    \ -3cot\theta = \frac{3\pi}{2} 

--Juniorr 21:46 30 ene 2010 (CST)

Ejemplo # 5

x = \sqrt{t}

y = \sqrt{t-1}

\dot{x} = \frac{1}{2\sqrt{t}}

\dot{y} = \frac{1}{2\sqrt{t-1}}

= \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t - 1}} = \sqrt{\frac{t}{t - 1}}

--Juliocm 11:51 31 ene 2010 (CST)

Ejemplo # 6

x = 2t

y = t^2 - 1

\dot{x} = 2

\dot{y} = 2t

= \frac{2t}{2} = t

--Juliocm 11:51 31 ene 2010 (CST)

Ejemplo # 7

x = a\cos ^{3} \theta

y = a\sin ^{3} \theta

\dot{x} = -3a \sin \theta \cos ^2 \theta

\dot{y} = = \frac{3a \sin^2 \theta \cos  \theta}{-3a \sin \theta \cos ^2 \theta }

 = -\frac{\cos\theta  \sin^2\theta }{\cos ^2 \theta \sin \theta } = -\frac{\sin\theta }{\cos\theta }= -\tan \theta

--Juliocm 11:51 31 ene 2010 (CST)

Ejemplo # 8

Encontrar La pendiente de la Recta Tangente

x = sin (t)

y = csc (t)

t = \frac{\pi}{4}

Derivando

\dot{x}=\cos (t)

\dot y= -cot(t)\cdot csc(t) = -\frac{cos(t)}{sin(t)^2}

\dot x \left |t = \frac {\pi}{4} = \frac {\sqrt 2}{2}

\dot y \left |t = \frac {\pi}{4} =- \sqrt 2


Encontrando la Pendiente

m = \frac {\dot y}{\dot x}

\therefore m = \frac {-\sqrt 2}{\frac {\sqrt2}{2}}} = -2

--Wilder.montenegro 23:55 28 feb 2010 (CST)

Ejemplo #9

Determine para la cicloide  x = r(\theta-sen(\theta)), y=r(1-cos(\theta))



A) dy/dx y  \frac{d^2y}{dx^(2)}:

\frac{dy}{dx}=\frac{{dy}/{d\theta}}{{dx}/{d\theta}}=\frac{rsen(\theta)}{r(1-sen(\theta)}=\frac{sen(\theta)}{1-cos(\theta)}

Para \frac{d^2y}{dx^2} primero calculamos

\frac{d}{d\theta}\frac{dy}{dx}=\frac{d}{d\theta}\frac{sen(\theta)}{1-cos(\theta)}=\frac{cos(\theta)(1-cos(\theta))sen(\theta)sen(\theta)}{(1-cos(\theta))^2}=\frac{cos(\theta)-1}{(1-cos(\theta))^2}=-\frac{1}{1-cos(\theta)}

Entonces: \frac{d^2y}{dx^2^}=\frac{{d}/{d(\theta)}({dy}/{dx})}{{dx}/{d(\theta)}}= -\frac{{(1)}/{1-cos(\theta)}} {{r(1-cos(\theta))}}= \frac{1}{r(1-cos(\theta))^2}

B)Encontrar la pendiente y la ecuacion de la tangente a la cicloide en el punto en que θ= π/3:

Cuando θ=π/3, tenemos: x=r(\frac{\pi}{3}- sen\frac{\pi}{3})=r(\frac{\pi}{3}-\frac{(\sqrt(3)}{2} ), y=r({1}-\frac{cos(\pi)}{3})=\frac{\pi}{2}

\frac{dy}{dx}=\frac{{sen(\pi)}/{3}}{1-cos(\pi)/{3}}=\frac{\sqrt(3/2)}{1-(1/2)}=\sqrt(3)

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