Derivadas parciales

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Definición

En resumen, las derivadas parciales es derivar respecto a una variable.
Ejemplo: si existe F(x,y), entonces la derivada parcial sería la derivada parcial respecto de x y también la derivada parcial respecto de y. Si existieran mas variables, se sigue derivando de la misma manera dependiendo el número de variables que existan en la función.

Si $z=f(x,y)$ , las primeras derivadas parciales de $f$ respecto de x e y son las funciones $f_x\;y\;f_y$ definidas como

$f_x(x,y)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}$

$f_y(x,y)=\lim_{\Delta y \rightarrow 0}\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}$

siempre que el límite existe.

Demostración

Recordemos que la derivada de una función de una variable se define como :

$f^{'}(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

ahora como tenemos la función $z=f(x,y)$ lo que hacemos es fijar el valor de una de las variables a una costante, de esta manera analizamos el cambio en la función con respecto solo al cambio de una de sus variables.

Entonces hacemos $f(x,b)=h(x)$ aquí lo que hicimos fue fijar el valor de $y$ , y al hacer esto tenemos una función $h$ que depende sólo de $x$ .

Derivamos la función $h(x)$

$h^{'}(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}$

como $h(x)=f(x,b)$ entonces $h(x+\Delta x)=f(x+\Delta x,b)$ y cambiamos la expresión anterior,

$h^{'}(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Deltax}= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x,b)-f(x,b)}{\Delta x}$

Entonces tenemos que la derivada de la función $f(x,y)$ cuando fijamos $y$ y cambiamos $x$ es, (o dicho de otra manera la derivada parcial de la función con respecto al eje x)

$\therefore f_x(x,y)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x,y) - f(x,y)}{\Delta x}$

Derivadas Parciales

Derivadas parciales de una función de dos variables

En las aplicaciones en que intervienen funciones de varias variables suele presentarse la cuestión de como resulta afectada la función por cambio en una de sus variables independientes. Se puede contestar esta pregunta considerando por separado esa variable independiente. por ejemplo para determinar el efecto de un catalizador en una experimento, un químico puede realizar varias veces el experimento, con distintas cantidades de ese catalizador cada vez, mientras mantiene constantes todas las demás variables, tales como temperatura y presión. un procedimiento análogo sirve para encontrar el ritmo de cambio de una función f con respecto a una de sus varias variables independientes. Este proceso se llama derivación parcial y el resultado se llama derivada parcial de f respecto de esa variable independiente elegida.

Notación

Dada $z=f(x,y),$ sus derivadas parciales $f_x,f_y$ se denotan por

$\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)=f_x(x,y)=z_x=\frac{\partial z}{\partial x}$

y

$\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)=f_y(x,y)=z_y=\frac{\partial z}{\partial y}$

Las primeras derivadas parciales evaluadas en el punto $(a,b)$ se denotan por

$\left . \frac{\partial z }{\partial x} \right |_{(a,b)}=f_x(a,b)$

y

$\left . \frac{\partial z }{\partial y} \right |_{(a,b)}=f_y(a,b)$

Interpretación Geométrica

Las derivadas parciales de una función de dos variables $z=f(x,y)$ tienen una interesante interpretación geométrica. Si $y=y_0,\;z=f(x,y_0)$ es la curva intersección de la superficie $z=f(x,y)$ con el plano $y=y_0$ .

Por tanto,

$f_x(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$

da la pendiente de esa curva en el punto $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ . Notar que tanlo la cura como la recta tangente están en el plano $y=y_0$ . Análogamente,

$f_x(x_0,y_0)=\lim_{\Delta y \to 0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}$

da la pendiente de la curva intersección de $z=f(x,y)$ con el plano $x=x_0$ en $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ como se ve en la siguiente figura,

Lo que viene a decirnos que los valores de $\frac{\partial z}{\partial x}$ y $\frac{\partial z}{\partial y}$ en el punto $(x_0,y_o,z_0)$ dan las pendientes de la superficie en las direcciones del eje x y el eje y.

Orden de las derivadas parciales

El orden de una ecuación diferencial parcial es el de la derivada mayor de orden que aparezca en dicha ocasión.

Ejemplo:

1. $\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}= 0$
2. $u\times \left ( \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y}\right )= 0$

Derivadas Parciales de Orden Superior

Tomando la función derivada de una función es posible a veces volver a derivar aquella. Esto es análogo a calcular la segunda derivada de una función de una variable cuando se deriva dos veces con respecto a la misma variable; las derivadas obtenidas se llaman derivadas parciales segundas.

Si f es una función de 2 variables entonces $\frac{\partial f}{\partial x} \; , \frac{\partial f}{\partial y}$ son a su vez funciones, por lo que tiene sentido calcularle sus derivadas parciales.

A las derivadas

$f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f}{\partial x}) = \frac{\partial^2f}{\partial x^2}$

$f_{yx} = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial f}{\partial x}) = \frac{\partial^2f}{\partial y \partial x}$

$f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial f}{\partial y}) = \frac{\partial^2f}{\partial y^2}$

$f_{xy} = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f}{\partial y}) = \frac{\partial^2f}{\partial x \partial y}$

Ejemplo #1

Halle las segundas derivadas parciales de

$f(x,y)= x^3+ x^2y^3-2y^2$

$f_x = 3x^2+ 2xy^3$
$f_{xx} = 6x + 2y^3$
$f_{xy} = 6xy^2$
$f_{y} = 3x^2y^2 - 4y$
$f_{yy} = 6x^2y- 4$
$f_{yx} = 6xy^2$
Observemos que $f_{xy}$ y $f_{yx}$ deben de ser iguales en sus resultados, eso nos indicaría que estamos bien en las respuestas, si no son iguales, tendríamos que ver en que paso cometimos el error y corregirlo.

Ejemplo #2

Demostrar que la función $z=xe^{y}+ye^{x}$ es solución de la ecuación

$\frac{\partial^3z }{\partial x^3} + \frac{\partial^3z }{\partial y^3} = x\frac{\partial^3z }{\partial x \partial y^2}+y\frac{\partial^3z }{\partial x^2 \partial y}$

para saber si la función es solución, tenemos que llegar a una igualdad luego de haber determinado las dos partes de la ecuación.

Empezaremos con la primera parte de la ecuación:

$\frac{\partial^3z }{\partial x^3}$ esta notación nos dice "derive tres veces la función con respecto de x", entonces derivamos

$\frac{\partial z }{\partial x}$ = $e^{y}+ye^{x}$ , hemos llegado a este resultado tomando $e^{y}$ como una constante, luego se sigue derivando este resultado con respecto a x dos veces mas y obtenemos que:

$\frac{\partial^3z }{\partial x^3}$ = $ye^x$ (primer término del lado izquierdo)

$\frac{\partial^3z }{\partial y^3}= xe^y$ (segundo término del lado izquierdo)

ahora nos vamos a la segunda parte de la ecuación y encontramos que:

$x\frac{\partial^3z }{\partial x \partial y^2} = e^y$ , esta notación nos dice "derive z con respecto de x una vez (hacemos "y" una constante) y luego derive el resultado dos veces con respecto de "y" (hacemos x constante).

$y\frac{\partial^3z }{\partial x^2 \partial y}=e^x$ , "derive z dos veces con respecto de "x" y el resultado derivelo una vez con respecto de "y"

luego de haber encontrado las derivadas, las sustituimos en la ecuación diferencial:

$ye^x + xe^y = xe^y + ye^x$ podemos ver que es una tautología, por lo tanto, si es solución.

Teorema de Clairaut

Si $f(x,y)$ es una función definida en el dominio D y si $f_{xy}$ & $f_{yx}$ son continuas, entonces $f_{xy} = f_{yx}$ .

Ejemplo # 1

Demostrar que $z_{xy} = z_{yx}$

siendo $f(x,y) = x^2-2xy+3y^2$

$f_x = 2x-2y$
$f_{xy} = -2$

$f_{y} = -2x+6y$
$f_{yx} = -2$
$f_{xy} = f_{yx}$
Son iguales.

Ejemplo # 2

$z=xe^y+ye^x$

$z_{xy}$

$z_{x}=e^y+ye^x$

$z_{xy}=e^y+e^x$

$z_{yx}$

$z_{y}=xe^y+e^x$

$z_{yx}=e^y+e^x$

$z_{xy} = z_{yx}$ si son iguales.

Ejemplo # 3

$z=sen(x-2y)$

$z_{xy}$

$z_{x}=cos(x-2y)$

$z_{xy}=2sen(x-2y)$

$z_{yx}$

$z_{y}=-2cos(x-2y)$

$z_{yx}=2sen(x-2y)$

$z_{xy} = z_{yx}$ si son iguales.

Ejemplo # 4

$z=e^xtany$

$z_{xy}$

$z_{x}=e^xtany$

$z_{xy}=e^xsec^2y$

$z_{yx}$

$z_{y}=e^xsec^2y$

$z_{yx}=e^xsec^2y$

$z_{xy} = z_{yx}$ si son iguales.

Ejemplo # 5

$f(x,y)= x^3+x^2y^3-2y^2$

$\frac{\partial f}{\partial x}=3x^2+2xy^3$

$\frac{\partial f}{\partial y}=3x^2y^2-4y$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=6xy^2$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=6x+2y^3$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=6xy^2$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=6x^2y-4$

Ejmplo # 6

Parcial de Laplace

$U(x,y)=e^xCosy$

$U_{x}=e^xCosy$

$U_{xx}=e^xCosy$

$U_{y}=-e^xSeny$

$U_{yy}=-e^xCosy$

$e^xCosy+(-e^xCosy)=0$

$e^xCosy-e^xCosy=0$

Es Solucion

--Antonio Moran 20:36 30 jul 2010 (CST)tonymoran

Ejemplo # 7

Ecuación de Onda

$U(x,t)=Sen(x-at)$

$U_{t}=-aCos(x-at)$

$U_{tt}=-a^2Sen(x-at)$

$U_{x}=Cos(x-at)$

$U_{xx}=-Sen(x-at)$

$-a^2Sen(x-at)=-a^2Sen(x-at)$

--Antonio Moran 20:49 30 jul 2010 (CST)tonymoran

Ejemplo # 8

$\\F\left( x,y \right ) \frac{xy}{x^{2}+y^{2}}\ \right ]$

$\frac{\partial f}{\partial x}= \frac{y\left ( x^{2} \right + y^{2})-\left ( xy \right )\left ( 2x \right )}{\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}}$

$\frac{\partial f}{\partial x}= \frac{x^{2}y+y^{3}-2x^{2}y}{x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}}$

$\frac{\partial f}{\partial x}= \frac{-x^{2}y^{2}+y^{3}}{x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}}$

$\frac{\partial f}{\partial y}= \frac{x\left ( x^{2}+y^{2} \right )- \left ( xy \right )\left ( 2x \right )}{\left ( x^{2}+y^{2} \right )}$

$\frac{\partial f}{\partial y}= \frac{x^{3}+xy^{2}-2xy^{2}}{\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}}$

$\frac{\partial f}{\partial y}= \frac{x^{3}+xy^{2}}{\left (x^{2}+y^{2} \right )^{2}}$

--Rocio 19:53 30 ago 2010 (CST)Rocio Garcia

Ejemplo # 9

$f(x,y,z)= 2xy^2+x^2yz^3$

$\frac{\partial f }{\partial x}= 2y^2+2xyz^3$

$\frac{\partial f }{\partial y}= 4xy+x^2z^3$

$\frac{\partial f }{\partial z}= 3x^2yz^2$

$\frac{\partial^2 f }{\partial x^2}= 2yz^3$

$\frac{\partial^2 f }{\partial y^2}= 4x$

$\frac{\partial^2 f }{\partial z^2}= 6x^2yz$

$\frac{\partial^2 f }{\partial xy} = 4y+2xz^3$

$\frac{\partial^2 f }{\partial yx}= 4y+2xz^3$

$\frac{\partial^2 f }{\partial zx}= 6xyz^2$

$\frac{\partial^3 f }{\partial xyz}= 6xz^2$

$\frac{\partial^3 f }{\partial yxz}= 6xz^2$

$\frac{\partial^3 f }{\partial zxy}= 6xz^2$

$\therefore--las--derivadas--cruzadas--son--iguales$

--Antonio Moran 07:30 31 ago 2010 (CST)tonymoran

Ejemplo # 10

$F(x,y)= \frac{x^{2}}{2y}+\frac{4y^{2}}{x}$

$\frac{\partial f}{\partial x}= \frac{2x}{2y}+\frac{4y^{2}}{4}$

$\frac{\partial f}{\partial x}= \frac{x}{y}+\frac{4y^{2}}{x^{2}}$

$\frac{\partial f}{\partial y}= \frac{x^{2}}{4y^{2}}+\frac{8y}{x}$

Ejemplo #11

$F(x,y,z)= 2xy^4+2x+3x^2y^3+2xyz^2$

$\frac{\partial f }{\partial x}= 2y^4+2+6xy^3+2yz^2$

$\frac{\partial f }{\partial y }= 8xy^3+9x^2y^2+2xz^2$

$\frac{\partial f }{\partial z}= 4xyz$

$\frac{\partial^2 f }{\partial x^2}= 6y^3$

$\frac{\partial^2 f }{\partial y^2}= 24xy^2+18x^2y$

$\frac{\partial^2 f }{\partial z^2}= 4xy$

$\frac{\partial^2 f }{\partial xy}=8y^3+12xy^2+2z^2$

$\frac{\partial^2 f }{\partial yx}= 8y^3+18xy^2+2z^2<tex><br><br> <tex>\frac{\partial^2 f }{\partial zx}= 4yz$

$\frac{\partial^3 f }{\partial xyz}= 4z$

$\frac{\partial^2 f }{\partial yxz}= 4z$

$\frac{\partial^2 f }{\partial zxy}= 4z$

--Antonio Moran 19:15 31 ago 2010 (CST)tonymoran

Ejemplo # 12

Pruebe que se cumple la ecuación de laplace:

$\frac{\partial^{2} z }{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z }{\partial x^{2}}=0$

para la siguente ecuación:

$Z=5xy$

${\frac{\partial z }{\partial x^{}}}=5y$
${\frac{\partial z }{\partial y^{}}}=5x$
${\frac{\partial^{2} z }{\partial x^{2}}}=0$
${\frac{\partial^{2} z }{\partial x^{y}}}=0$

$0+0=0$

Si cumple la ecuación.

Lpzelada 20:19 31 ago 2010 (CST)

Ejemplo # 13

Encuente las primeras derivadas parciales de: $z=x^{2}-2xy=3y^{2}$

$\frac{\partial z}{\partial x}=2x-2y$
$\frac{\partial z}{\partial y}=-2x+6y$
$\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=2$
$\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=6$
$\frac{\partial^{2} z}{\partial xy}=-2$
$\frac{\partial^{2} z}{\partial yx}=-2$

las derivadas cruzadas son iguales

Lpzelada 20:45 31 ago 2010 (CST)

Ejemplo # 14

Si
$f\left ( x, y \right )= x^{4}-x^{3}y^{4}+3y^{3}$

, encuentre
$f_{x}\left ( 2,1 \right ) y f_{y}\left ( 2,1 \right )$

Derivada respecto de x:

$f\left ( x,y \right )= 4x^{3}-3x^{2}y^{4}+3y^{3}$

sustituyendo
$f_{x}\left ( 2,1 \right ):$

$f\left ( x,y \right )= 4\left ( 2 \right )^{3}-3\left ( 2 \right )^{2}\left ( 1 \right )^{4}+3\left ( 1 \right )^{3}$

$f\left ( x,y \right )= 32-12+3$

$f\left ( x,y \right )= 23$

Derivada respecto y:

$f\left ( x,y \right )= -4x^{3}y^{3}+9y^{2}$

sustituyendo
$f_{y}\left ( 2,1 \right ):$

$f\left ( x,y \right )= -4 \left (2 \right )^{3}\left ( 1 \right )^{3}+9\left ( 1 \right )^{2}$

$f\left ( x,y \right )= -32+9$

$f\left ( x,y \right )= -23$

Ejemplo # 15

Evalúe la derivada parcial de la siguiente función para encontrar su pendiente. Evaluando los puntos en (0,2) en x,y:

$f\left ( x,y \right )= \frac{y}{2y-\cos \left ( x \right )}$

Derivada parcial respecto de x:

$\frac{\partial f}{\partial x}= \frac{\left ( 2y-\cos x \right )\left ( \frac{\partial f}{\partial y} \right )-\left ( y \right )\left ( \frac{\partial f}{\partial y} \right )\left ( 2y-\cos x \right )}{\left ( 2y-\cos x \right )^{2}}$

$\frac{\partial f}{\partial x}= \frac{\left ( 2y-\cos x \right )\left ( 0 \right )-\left ( y \right )\left ( senx \right )}{\left ( 2y-\cos x \right )^{2}}$

$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{-y\left ( senx \right )}{\left ( 2y-\cos x \right )^{2}}$

$\frac{\partial f}{\partial x}= \frac{-\left ( 2 \right )\left ( sen0 \right )}{\left ( \left ( 2 \right )\left ( 2 \right )-\cos 0 \right )^{2}}$

$\frac{\partial f}{\partial x}=0$

Ejemplo # 16

$F(x,y)= 2xy^3+2x^2$

$\frac{\partial f }{\partial x}= 2y^3+4x$

$\frac{\partial f }{\partial y }= 6xy^2$

$\frac{\partial^2 f }{\partial x^2}= 4$

$\frac{\partial^2 f }{\partial y^2}= 12xy$

$\frac{\partial^2 f }{\partial xy}=6y^2$

$\frac{\partial^2 f }{\partial yx}= 6y^2$

--Antonio Moran 20:13 30 sep 2010 (CST)tonymoran

Ejemplo #17

$F(x,y)= 2xy^4+2x^3$

$\frac{\partial f }{\partial x}= 2y^4+6x^2$

$\frac{\partial f }{\partial y }= 8xy^3$

$\frac{\partial^2 f }{\partial x^2}= 12x$

$\frac{\partial^2 f }{\partial y^2}= 24xy^2$

$\frac{\partial^2 f }{\partial xy}=8y^3$

$\frac{\partial^2 f }{\partial yx}= 8y^3$

--Antonio Moran 20:13 30 sep 2010 (CST)tonymoran

Ejemplo #18

$F(x,y)= 3x^2y^3+2x^3y^4$

$\frac{\partial f }{\partial x}= 6xy^3+6x^2y^4$

$\frac{\partial f }{\partial y }= 9x^2y^2+8x^3y^3$

$\frac{\partial^2 f }{\partial x^2}= 6y^3+12xy^4$

$\frac{\partial^2 f }{\partial y^2}= 18x^2y+24x^3y^2$

$\frac{\partial^2 f }{\partial xy}=18y^3$

$\frac{\partial^2 f }{\partial yx}= 18y^3$

--Antonio Moran 20:13 30 sep 2010 (CST)tonymoran

Ejemplo # 19

$F(x,y)= 3x^7*6y^3+3x^2*y^5$

$\frac{\partial f}{\partial x} = 21x^6*6y^3+6x*y^5$

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3x^7*18y^2+3x^2*5y^4$

$\frac{\partial f}{\partial x^2} = 126x^5*6y^3+6y^5$

$\frac{\partial f}{\partial y^2} = 3x^7*36y+3x^2*20y^3$

$\frac{\partial f}{\partial xy} = 21x^6*18y^2+30x*y^4$

$\frac{\partial f}{\partial yx} = 21x^6*18y^2+30xy^4$

--Antonio Moran 21:52 4 nov 2010 (CST)tonymoran

Ejemplo # 20

$F(x,y,z) 6x^3y^2z^4+3xy^2+12y^4z^3$

$\frac{\partial f}{\partial x} = 18x^2y^2z^4+3y^2$

$\frac{\partial f}{\partial y} = 12x^3yz^4+6xy+48y^3z^3$

$\frac{\partial f}{\partial z} = 24x^3y^2z^3+36y^4z^2$

$\frac{\partial f}{\partial x^2} = 36xy^2z^4$

$\frac{\partial f}{\partial y^2} = 12x^3z^4+6x+144y^2z^3$

$\frac{\partial f}{\partial z^2} = 72x^3y^2z^2+72y^4z$

$\frac{\partial f}{\partial xy} = 36x^2yz^4+6y$

$\frac{\partial f}{\partial yx} = 36x^2yz^4+6y$

$\frac{\partial f}{\partial zx} = 72x^2y^2z^3$

$\frac{\partial f}{\partial xyz} = 144x^2yz^3$

$\frac{\partial f}{\partial yxz} = 144x^2yz^3$

$\frac{\partial f}{\partial zxy} = 144x^2yz^3$

--Antonio Moran 22:34 4 nov 2010 (CST)tonymoran

Ejemplo # 21

Calcular las derivadas parciales de:

$f_{(x,y)}=3x-2y4$

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3$

$\frac{\partial f}{\partial y} = -8y^3$

Ejemplo # 22

$f_{(x,y)}=\frac{x-y}{x+y}$

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{(x+y)-(x-y)}{(x+y)^2} = \frac{2y}{(x+y)^2}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{-(x+y)-(x-y)}{(x+y)^2} = \frac{-2x}{(x+y)^2}$

Ejemplo # 23

Calcular las derivadas parciales de:

$f_{(x,y)}=x^3+3x^2y^2+y^3$

$\frac{\partial f}{\partial x}=3x^2+6xy^2$

$\frac{\partial f}{\partial y}=6x^2y+3y^2$

Ejemplo # 24

Calcular las derivadas parciales de:

$w_{(x,y,y)}=x^2y+y^2z$

$\frac{\partial w}{\partial x}=2xy$

$\frac{\partial w}{\partial y}=x^2+2yz$

$\frac{\partial w}{\partial z}=y^2$

Algunas aplicaciones de las derivadas parciales

Las derivadas parciales pueden ser aplicadas en distintas ecuaciones como lo es en el caso de los fenómenos físicos. Un ejemplo puede ser las pequeñas vibraciones transversales de una cuerda flexible y tensa como la cuerda de un violín, que inicialmente se ha colocado sobre el eje y se ha hecho vibrar. la función de la elongación de un punto cualquiera de la cuerda en el instante. La constante "c" se puede decir que es la tensión de la cuerda.

$\frac{\partial ^{2}u}{\partial t^{2}} + \frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}=c^{2}\times \left ( \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \right )$

Videos

http://www.youtube.com/watch?v=bKGCity6dr8

http://www.youtube.com/watch?v=tiN_J9Fn4Bg

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