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Desigualdades

De por WikiMatematica.org


http://youtu.be/vTlfz-dF8hY

Una desigualdad es un enunciado o ecuación en el que dos expresiones no son iguales, también son parecidas a las ecuaciones solo que en lugar de tener un signo de igual hay unos símbolos que son:<,>,≤,≥. En una definición decimos que:

Suponemos que X y Y pertenecen a los reales donde cumplen con las condiciones siguientes:

  • X es mayor que Y (x>y)
  • X es menor que Y (x<y)


Desigualdades. Desigualdades o inecuaciones de primer grado con una incógnita La expresión a<>b,

quiere decir que "a" no es igual a "b". Según los valores particulares de "a" y de "b", puede tenerse a > b, que se lee "a" mayor que "b", cuando la diferencia a - b es positiva y a < b, que se lee "a" menor que "b", cuando la diferencia a - b es negativa. Desigualdad "es la expresión de dos cantidades tales que la una es mayor o menor que la otra".

Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los términos de la derecha, forman el segundo miembro. De la definición de desigualdad, lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen algunas consecuencias, a saber: 1º Todo número positivo es mayor que cero

Ejemplo:

5 > 0

porque 5 - 0 = 5 2º Todo número negativo es menor que cero

Ejemplo:

-9 < 0

porque -9 -0 = -9 3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto;

Ejemplo:

-10 > -30

porque -10 - (-30) = -10 +30 = 20


Contenido

Sentido de una desigualdad.

Los signos > o < determinan dos sentidos opuestos o contrarios en las desigualdades, según que el primer miembro sea mayor o menor que el segundo. Se dice que una desigualdad cambia de sentido, cuando el miembro mayor se convierte en menor o viceversa.


Resolucion de Desigualdades

Algunos problemas matemáticos se plantean como desigualdades en lugar de ecuaciones. Las desigualdades se resuelven de manera similar a una ecuación. Para resolver una desigualdad debemos determinar los valores que satisfacen a la desigualdad.

Resolucion de Desigualdades Lineales

Algunas reglas útiles para la resolución de desigualdades lineales son las siguientes:

    A \< B <-> A + C \< B + C
    A \< B <-> A - C \< B - C

    0 \< C -> A \< B <-> CA  \< CB

Desigualdades Conocidas

Los matemáticos suelen usar inecuaciones para aproximarse a cantidades cuyas fórmulas exactas no pueden ser fácilmente computadas. Algunas se usan tan a menudo que se les ha puesto nombre, como:

   * Desigualdad de Azuma
   * Desigualdad de Bernoulli
   * Desigualdad de Boole
   * Desigualdad de Cauchy-Schwarz
   * Desigualdad de Chebyshov
   * Desigualdad de Chernoff
   * Desigualdad de Cramér-Rao
   * Desigualdad de Hoeffding
   * Desigualdad de Hölder
   * Desigualdad de las medias aritmética y geométrica
   * Desigualdad de Jensen
   * Desigualdad de Márkov
   * Desigualdad de Minkowski
   * Desigualdad de Nesbitt
   * Desigualdad de Pedoe
   * Desigualdad de Shapiro
   * Desigualdad triangular


Desigualdades absolutas y condicionales.

Así como hay igualdades absolutas, que son las identidades, e igualdades condicionales, que son las ecuaciones; así también hay dos clases de desigualdades: las absolutas y las condicionales.


Desigualdad absoluta es aquella que se verifica para cualquier valor que se atribuya a las literales que figuran en ella

Ejemplo:

$a2+ 3 > a$


Desigualdades condicional es aquella que sólo se verifica para ciertos valores de las literales:

Ejemplo:

2x - 8 > 0 que solamente satisface para x > 4. En tal caso se dice que 4 es el límite de x.


Las desigualdades condicionales se llaman inecuaciones.

Propiedades de las desigualdades.

1. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se añade o se resta un mismo número a cada miembro

Efectivamente si en la desigualdad a > b se designa por "c" lo que falta a "b" para ser igual a "a", se tiene:

a = b + c

Añadiendo un mismo número, positivo o negativo a los miembros, se puede escribir:

a + m = b + c + m

Suprimiendo "c" en el segundo miembro, resulta evidentemente

a + m > b +m

Ejemplos:

9 > 5


9 + 2 > 5 + 2


11 > 7 -2 > -6


-2 -3 > -6 -3


-5 > -9


Consecuencia de esta propiedad: Puede suprimirse un término en un miembro de una desigualdad, teniendo cuidado de agregar en el otro miembro el término simétrico del suprimido; es decir, se puede pasar un término de un miembro a otro, cambiando su signo, porque esto equivale a sumar o restar una misma cantidad a los dos miembros.

Ejemplo:

6x -2 > 4x + 4


6x -4x > 4 + 2

2. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor positivo, o se dividen entre un mismo divisor, también positivo.

Sea la desigualdad a > b, es decir, a = b + c

Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por un número positivo "m", resulta:

am = bm + cm

Suprimiendo el término positivo "cm", en el segundo miembro disminuye, y se tiene:

am > bm

Si "m" es recíproco de un número positivo, queda evidenciada la segunda parte de esta propiedad

Ejemplos:

12 > 7


12 * 3 > 7 * 3


36 > 21 15 > -25


\frac{15}{5} > \frac{-25}{5}


3 > -5

3. Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor negativo, o se dividen entre un mismo divisor, también negativo.

Sea la desigualdad a > b, es decir, a = b + c

Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por el factor negativo -n se obtiene:

-an = -bn -cn

Suprimiendo -cn, en el segundo miembro aumenta; por tanto,

-an < -bn

Si -n es recíproco de un número negativo, queda demostrada la segunda parte del enunciado.

Ejemplos:

3 > -15


3(-4) < (-15)(-4)


-12 < 60 64 < 80


\frac{64}{-4} > \frac{80}{-4}


-16 > -20


Consecuencia de la propiedad anterior pueden cambiarse todos los signos de una desigualdad, con tal que se cambie el sentido de la misma; porque esto equivale a multiplicar sus dos miembros por -1.

Ejemplo:

-7x + 130 < 9 -5x


7x - 130 > -9 + 5x

4. Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a la misma potencia, la desigualdad no cambia de sentido.

Sea la desigualdad a < b, en la que "a" y "b" son positivos. Multiplicando sus dos miembros por "b", resulta:

ab < b2

En el primer de esta desigualdad, sustituyendo "b" por "a", la desigualdad se refuerza; por tanto:

a2 < b2


Ejemplo:

7 < 10


73 < 103


343 < 1000

5. Si los dos miembros de una desigualdad son negativos y se elevan a una potencia de grado impar, no cambia el sentido de la desigualdad; pero hay cambio de sentido si el grado de la potencia es par.

Sea la desigualdad -a < -b a) Multiplicando sus dos miembros por b2 se obtiene:

-ab2 < -b3

En el primer miembro, reemplazando b2 por a2, la desigualdad se refuerza; luego se puede escribir:

-a3 < -b3

b) Multiplicando los dos miembros de la primera desigualdad por -b y haciendo análogas transformaciones, la desigualdad cambia de sentido, porque sus términos cambian de signo, y se tiene:

a2 > b2


Ejemplos:

-3 > -6


(-3)3 > (-6)3


-27 > -216 -8 < -4


(-8)2 > (-4)2


64 > 16

6. Si se suman miembro a miembro varias desigualdades de mismo sentido, resulta una desigualdad de mismo sentido que aquéllas.

Sean las desigualdades a > b; a' > b'; a" > b" Se puede escribir:

a = b + c


a' = b' + c'


a" = b" + c"

Sumando miembro a miembro y suprimiendo c + c' + c", se tiene, sucesivamente:

a + a' + a" = b + b' + b" + c + c' + c"


a + a' + a" > b + b' + b"


Ejemplo:

Dado: 2x > 10 y 7x > 26


se obtiene: 9x > 36

7. Si se restan miembro a miembro dos desigualdades de sentido contrario, resulta una desigualdad de igual sentido que el minuendo.

Sean las desigualdades a > b y c < d Invirtiendo la segunda desigualdad y sumándola a la primera se tiene

a > b


d > c


a + d > b +c

Restando d + c de cada miembro, resulta:

a - c > b -d


Ejemplo:

Dado: 7x < 12 y 5x > 16,


se obtiene: 2x < -4

Propiedades de la Desigualdades

1) Una desigualdad no cambia de sentido cuando se añade o resta un mismo numero a cada miembro.

Ejemplos
I)
6 > 3
6 - 4 > 3 - 4
10 > 7
II)
5 < 8
5 + 3 < 8 + 3
2 < 5

2) Una desigualdad no cambia de sentido cuando se multiplica un numero positivo a cada miembro, o se dividen en un mismo divisor positivo.

Ejemplos
I)
5 > 2
5 * 3 > 2 * 3
15 > 6
II)
6 < 14
6 \div 2 < 14 \div 2
3 < 7

3) Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplica un numero negativo a cada miembro, o se dividen en un mismo divisor negativo.


Ejemplos
I)
5 > 2
 5 * -3 < 2 * -3
-15 < -6
II)
6 < 14
6 \div -2 > 14 \div -2
-3 > -7

4) Si los miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a la misma potencia, la desigualdad no cambia de sentido.

Ejemplos
I)
2 < 4
2^{3} < 4^{3}
8 < 64
II)
9 > 5
9^{4} > 5^{4}
6561 > 625

5) Si los miembros de una desigualdad son negativos y se elevan a una potencia de grado impar, no cambia el sentido de la desigualdad; pero el sentido cambia si el grado de la potencia es par.

Ejemplos
I)
-2 > -4
-2^{3} > -4^{3}
-8 > -64
II)
-2 > -4
-2^{2} < -4^{2}
4 < 16

6) Si se suman miembro a miembro las desigualdades de un mismo sentido, resulta una desigualdad del mismo sentido que aquellas.

Ejemplos
I)
Dado 3x > 4 y 5x > 7
8x > 11
II)
Dado 6y < 20 y 7y < 15
13y < 35

7) Si se restan miembro a miembro dos desigualdades de sentido contrario, resulta una desigualdad de igual sentido que el minuendo.

Ejemplo
Dado 4x < 12 y 2x > 3
2x < 9


Ejemplo

A la señora Johnston se le pagan USD$15,000 al año mas una comisión de 8% sobre sus ventas. Que ventas anuales corresponderían a un ingreso anual entre los US$23,000 y los US$27,000?

SOLUCION

Si asignamos a  x la cantidad en dolares de las ventas anuales de la señora Johnston, entonces 15,000 + 0.08x es igual a su ingreso anual en dolares. Entonces, queremos hallar  x tal que

 23.000 \leq 15,000 + 0.08x \leq 27,000

Resolvemos la inecuación:

 8000 \leq 0.08x  \leq 12,000

 100,000 \leq  x  \leq 150,000

Entonces, las ventas anuales de la señora Jhonston deben estar entre US$100,000 y US$150,000 para que su ingreso anual oscile entre US$23,000 y US$27,000

Inecuaciones con Valor Absoluto

PROPIEDADES:

Sea b un numero positivo.

 i) |X| b si y solo si  -b < X < b.

 ii)|X| > b si y solo si  X < -b o X > b

Ejemplo 1

Resolver  |3x-7| < 1

Utilizando la propiedad i) hacemos la identificación de que  X = 3x-7 y remplazamos  |3x-7| < 1 por la inecuación simultanea equivalente, ahora resolvemos:

 -1 < 3x - 7 < 1
 -1 + 7 < 3x - 7 + 7 < 1 + 7

 6 < 3x < 8

 \frac{1}{3} 6 < \frac {1}{3} (3x) < \frac {1}{3} (8)

 2 < x < \frac{8}{3}

La solución entonces estaría en el intervalo  (2, \frac {8}{3})

Ejemplo 2

Resolver  |4 - \frac {1}{2} x |\geq 7


De la propiedad ii) para ≥, hacemos la identificación de que  X = 4 - \frac{1}{2} x y entonces:

 |4 - \frac{1}{2} x| Equivale a

 4 - \frac{1}{2} x \leq  - 7 o  4 - \frac{1}{2} x \geq  7

Resolvemos cada una de estas inecuaciones por separado. Tenemos primero

 4 - \frac{1}{2}x \leq - 7

 -\frac{1}{2}x \leq -11

 x \geq 22

En notación de intervalo, eso es  [22, \infty) y ahora resolvemos la siguiente inecuación:

 4 - \frac{1}{2}x \geq 7

 - \frac{1}{2}x \geq 3

 x \leq -6

Esto equivale al intervalo  (-\infty, -6]

Entonces la respuesta seria:

 (-\infty, -6] U [22, \infty)


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