.

Diferencial total de una funcion de dos variables

De por WikiMatematica.org


http://www.youtube.com/playlist?list=PLAFn9q_BCao-rQqvfBEGib7OrZQ4VdREs

Contenido

Definición

Si z=f(x,y) y \Delta x, \;\;\Delta y son incrementos de x e y, las diferenciales de las variables independientes x e y son

dx=\Delta x y dy=\Delta y

y la diferencial total de la variable z es

dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy

Diferenciales

Para una función de una variable, y = f(x), definimos el diferencial dx como una variable independiente, es decir, de x puede tomar el valor de cualquier número real. El diferencial de y se define entones como

dy= f’(x) dx

La siguiente figura muestra la relación entre el incremento \Delta y y el diferencia dy:\Delta y y represta el cambio en latura de la curva y= f(x) y dy representa el cambio en altura de la recta tangente cuando x cambia enuna cantidad dx = \Delta x


Ejemplo.jpg

Ejemplos

Ejemplo #1

La diferencial total dz para z=2x\sin y - 3x^2y^2 es

dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy
=(2\sin y - 6xy^2)dx+(2x \cos y - 6x^2y)dy

Diferencial total para funciones de mas variables

Si w=f(x_1,x_2,\cdots,x_n) el diferencial de w es,

dw=\frac{\partial w}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial w}{\partial x_2}dx_2+\cdots+\frac{\partial w}{\partial x_n}dx_n

Ejemplo #2

La diferencial total dw para w=x^2+y^2+z^2 es

dw=\frac{\partial w}{\partial x}dx+\frac{\partial w}{\partial y}dy+\frac{\partial w}{\partial z}dz
=2x\:dx+2y\:dy+2z\:dz

Ejemplo # 3

u=e^{t}sen\theta

du=\frac{\partial u}{\partial t}dt+\frac{\partial u}{\partial\theta}d\theta

  • du=e^{t}sen\theta\;dt + e^{t}cos\theta\;d\theta

Ejemplo # 4

u=\frac{r}{(s+2t)}

du=\frac{\partial u}{\partial r}\;dr+\frac{\partial u}{\partial s}\;ds + \frac{\partial u}{\partial t}\;dt

  • du=\frac{1}{(s+2t)}\;dr-\frac{r}{(s+2t)^{2}}\;ds-\frac{2r}{(s+2t)^{2}}\;dt

Ejemplo # 5

z=x^3Ln(y^2)

dz=\frac{\partial z}{\partial x}\;dx+\frac{\partial z}{\partial y}\;dy

dz=3x^2Ln(y^2)\;dx+\frac{2x^3y}{y^2}\;dy

  • dz=3x^2Ln(y^2)\;dx+\frac{2x^3}{y}\;dy

Ejemplo # 6

z=e^{x}cos(xy)

dz=\frac{\partial z}{\partial x}\;dx+\frac{\partial z}{\partial y}\;dy

dz=e^{x}cos(xy)-e^{x}ysen(xy)\;dx-e^{x}xsen(xy)\;dy

  • dz=e^{x}[cos(xy)-ysen(xy)]\;dx-e^{x}xsen(xy)\;dy

Ejemplo # 7

Encuentre dz de:

z=x^2+3xy+y^2

dz=(2x+3y)dx+(3x+2y)dy

Busca mas temas

Loading


Anuncios