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Ecuacion de cauchy-euler

De por WikiMatematica.org

la misma facilidad relativa con la que fue posible encontrar solucinoes explicitas de ecuaciones diferenciales lineales de oredn superior con coeficientes constantes o en general no se consigue con las ecuaciones lineales con coeficientes variables. cuando una ED tiene coeficientes variables, lo mejor es que se puede esperar normalmente es encontrar una solucion en la forma de una serie infinita pero en este caso no se hara esto ya que la ED que resolveremos aca tiene coeficientes variables cuya solucion puede expresarse en terminos de potencia de x seno coseno y funciones logaritmicas. ademas su metodo de solucion es bastante similar al de las ecuaciones con coeficientes constantes.

Contenido

Ecuacion de Cauchy-Euler


en una ecuacion de lineal de la forma:
'a_{n}x^{n}\frac{d^{n}y}{dx^{n}}+a_{n-1}x^{n-1}\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+....+a_{1}x\frac{dy}{dx}+a_{0}y=g(x)
donde los coeficientes a_{n}, a_{n-1}, a_{0} son constantes se le conoce como una ecuacion de cauchy-euler la caracterisite de este tipo de ecuacion es que el grado k=n,n-1.....1,0 de los coeficientes x^{k}coincide con el orden ñ de diferenciacion \frac{d^{k}y}{dx^{k}}

Solucion

la solucion de ecuaciones de orden superior se deduce de una manera analoga asimismo la ecuacion no homogenea ax^{2}y{}'{}'+bxy{}'+cy=g(x)se resuelve mediante una variacion de parametros, una vez que se determina la funcion complementaria y_{c}.
se prueba una solucion de la forma y=x^{m} donde m es un valor que se debe determinar. analogo a lo que sucede cuando se sustituye e^{mx} en una ecuacion lineal con coeficientes constantes, cuando se sustituye x^{m}, cada termino de una ecuacion CE se convierte en un polimero en m multiplicado por x^{m} ya que:
a_{k}x^{k}\frac{d^{k}y}{dx^{k}}=a_{k}x^{k}m(m-1)(m-2)..............(m-k+1)x^{m-k}=a_{k}m(m-1)(m-2)........(m-k+1)x^{m}
si sustituimos y=x^{m} es una solucion de la ED siempre que m sea una solucion de la ecuacion auxiliar por lo que hay 3 casos distintos por considerar en funcion de si als raices de esta ecuacion cuadratica son reales y distintas reales e iguales o complejas. en el ultimo caso las raices aparecen como un par conjugado.

Caso I (raices reales y distintas)


sean m1 y m2 de am(m-1)bm+c=0 con m_{1}\neq m_{2} entonces y_{1}=x^{m_{1}} y y_{2}=x^{m_{2}} forman un conjunto fundamental de soluciones.

Ejemplo 1


Resuelva x^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+2x\frac{dy}{dx}-4y=0
como primer paso diferenciaremos dos veces
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=m(m-1)x^{m-2} \frac{dy}{dx}=mx^{m-1}
y lo sustituiremos en la ED:
x^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+2x\frac{dy}{dx}-4y=x^{2}m(m-1)x^{m-2}-2xmx^{m-1}-4x^{m}=0
luego por algebra x^{m}(m^{2}-3m-4)=0
si (m^{2}-3m-4) entonces (m+1)(m-4)=0
esto implica que m_{1}=-1 y m_{2}=4 por consiguiente la solucion sera y=c_{1}x^{-1}+c_{2}x^{4}

Caso II (raices repetidas)


si las raices son repetidas es decir m1=m2 entonces se obtiene una sola solucion a saber,y=x^{m}. Cuando las raices de la ecuacion cuadratica son iguales, el discriminante de los coeficientes necesariamente es cero de la formula cuadratica se deduce que las raices deben ser m1=\frac{-(b-a)}{2a} ahora se puede escribir una segunda solucion y_{2} pero antes debemos escribir la ecuacion de cauchy en la forma estandar:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+\frac{b}{ax}\frac{dy}{dx} + \frac{c}{ax^{2}}y=0
y se hacen las identificaciones p(x)=\frac{b}{ax} y \int (\frac{b}{ax})dx = \frac{b}{a}ln(x)
y_{2}=x^{m_{1}}\int\frac{e^{-\frac{b}{a}ln x}}{x^{2m_{1}}}
x^{m_{1}}\int\ x^{-\frac{b}{a}}{x^{2m_{1}}}dx
x^{m_{1}}\int\ x^{-\frac{b}{a}}x^{\frac{b-a}{a}}dx
x^{m_{1}}\int\ \frac{dx}{x}=x^{m_{1}}lnx
entonces la solucion general es :
y=c_{1}x^{m_{1}}+c_{2}x^{m_{1}}lnx

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