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Ecuaciones

De por WikiMatematica.org



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Una ecuación (o igualdad) es una proposición abierta que puede tomar valor verdadero o falso dependiendo del valor de la variable. En una ecuación siempre encontraremos letras y números relacionados por operaciones aritméticas. La letra es llamada incógnita. A menos que se restrinja de otra manera, los valores admisibles de la variable son los del dominio de la variable. Los valores admisibles de la variable, si los hay, que proporcionan una proposición verdadera se llaman soluciones o raíces de la ecuación. Resolver una ecuación significa encontrar todas sus soluciones.

Las ecuaciones se utilizan en todos los campos donde se usan cualquier tipo de números, por lo general la solución de una ecuación se escribe en notación de conjuntos.Este conjunto se llama Conjunto de soluciones de la ecuación, por ejemplo, el conjunto de soluciones de la ecuación x^2 - 9=0 es[-3,3].

Una ecuación algebraica en x contiene sólo expresiones algebraicas como polinomios, expresiones racionales, radicales y otras. Una ecuación de este tipo se llama ecuación condicional si hay numero en los dominios de la expresiones que no sean soluciones; por ejemplo la ecuación x^2=9 es condicional porque el número x=4 (y otros) no es una solución. Si todo número en los dominios de las expresiones de una ecuación algebraica es una solución, se dice que la ecuación es una identidad.

La mayor parte de las ecuaciones que se estudian en algebra contienen variables, las cuales son simbolos, casi siempre letras que representan numeros.

Ecuación de primer grado simple

Una ecuación es una igualdad que sólo se verifica para unos valores concretos de una variable, generalmente llamada x.

Resolver una ecuación consiste en hallar los valores de la variable que hacen cierta la igualdad. Recuerda: Si un elemento está sumando en un miembro pasa al otro restando. Si está restando pasa sumado. Si un número multiplica a todos los elementos de un miembro pasa al otro dividiendo y si los divise pasa multipllicando.


Contenido

Procedimiento de Solución de Ecuaciones Lineales

1. Los términos que contengan variable se llevan al lado o miembro izquierdo de la igualdad. Se opera hasta tener un solo término con variable.
2. Los terminos numericos se llevan al lado o miembro derecho de la igualdad. Se opera hasta tener un valor único.
3. Si el coeficiente de la variable no es uno, se multiplica ambos lados de la igualdad por el reciproco del coeficiente. La última igualdad indica la solución

Transitividad y Principios de Sustitucion en la Igualdad

El principio de transitividad establece que si dos numeros son iguales, a = b, y se puede demostrar que uno de ellos es igual a un tercero, b = c, entonces se debe cumplir que el tercero y el primero tambien son iguales, a = c, en terminos de la recta numerica, los tres numeros ocupan la misma posición.

Principio de Sustitucion para una Variable

Si una expresion algebraica f se escribe en terminos de una variable "x". Ademas, si a "x" se le asigna un valor numerico particular, el valor de la expresion algebraica se puede calcular sustituyendo en la misma el numero asignado "x". En este caso se dice que "el valor de x se sustituye en f", o bien en forma abraviada, "valuar x en f".

Ejemplos

Ejemplo 1

     4 + x = 10

lo que buscamos es encontrar el valor que debe tener "x" para que el resultado sea verdadero. lo hacemos, despejando el numero 4, como se encuentra sumando en un lado de la ecuacion, este pasa del otro lado con el signo cambiado

 x = 10 - 4
       x = 6

ejemplo1.1

 x = 15 + 6
       x = 21

Ahora para comprobar sustituimos el valor que encontramos.
ejemplo1      4 + 6 = 10

          10 = 10

ejemplo1.1      21 = 16 + 5

          21 = 21


Por lo tanto las ecuaciónes son verdaderas.


Ejemplo 2

  x+4 = 2
 x = 2-4

Que valores debe tomar x para que esta ecuación se cumpla.

  x = -2

Ejemplo 3

 3x + 2 = 0

lo que necesitamos encontrar es el valor de x
 3x = -2
  x = -2/3

Ejemplo 4

 8x - 4 = 0

Lo que tenemos que hacer es hallar el valor de x, pasamos el -4 al otro lado de la ecuación sumando,
o lo que es igual, sumarle un 4 a cada uno de los lados de la ecuacion.

 8x = 4 ahora el 8 pasa a dividir al otro lado de la ecuación
 x = 4/8 simplificamos
 x = 1/2

Sustituimos en la ecuación: 

 8 * 1/2 = 4
 4 = 4

Ejemplo 5

Encontrar la solución para
 2x - 3 = 5x + 6
ponemos los términos con la variable de un lado de la igualdad
 2x - 5x = 6 + 3
operamos ambos lados de la igualdad
 -3x = 9

despejamos la variable
 x = 9/-3

 x = - 3

Ejemplo 6

Encontrar la solución para  x - 2 = 5x + 6

 x - 2 = 5x + 6
 x - 2 - 5x = 6
 -4x - 2 = 6
 -4x = 6 + 2
 -4x = 8

 x = - 4

Ejemplo 7

Encontrar el valor de x para la siguiente ecuación: x + 20 = 3x - 7

 x + 20 = 3x - 7
 x - 3x = -7 - 20
 -2x = -27
 2x = 27

 x = 27/2

Ejemplo 8

Encontrar la solución para  -2x - 2 = -5x + 4

 -2x - 2 = -5x + 4
 -2x - 2  + 5x = 4
 3x  = 4+2
 3x = 6
 x = 6/3

 x = 2

Ejemplo 9

2 (x-4) = 8

2x - 8 = 8

2x = 16

x=8


Ejemplo 10

Encontrar la solución para  2x +2 = 5x

 2x - 5x = -2

 -3x = -2

 x = 2/3


Ejemplo 11

Encontrar la solución para  8x +5 = 2x

 8x + 5 -5= 2x -5

 8x = 2x-5

 8x-2x=2x-2x-5

 6x=-5

 x=-5/6


Ejemplos

x^{2} - 64 = 0

Le sumamos un 64 a cada lado de la ecuación.

x^{2} - 64 = 0 // + 64

x^{2} = 64

Le sacamos la raiz cuadrada a cada lado de la ecuación.

x^{2} = 64 // \sqrt{}

x = \pm \sqrt{64}

x_{1} = 8

x_{2} = -8

Ecuaciones de la forma ax² + bx = 0

Ejemplo 1

4x^{2} + 16x = 0

Primero le sacamos factor común

x\left ( 4x + 16 \right ) = 0

Esta expresión es una multiplicación cuyo resultado es cero por lo tanto un valor de x es cero, para sacar el otro valor de x utilizamos la ecuación de primer grado que nos queda por resolver:

4x + 16 = 0

4x = -16

x = -16 \div 4

x = -4

por lo tanto los valores de x son:

x_{1} = 0

x_{2} = -4

Ejemplo 2

2x^{2} + 20x = 0


x\left ( 2x + 20 \right ) = 0


2x + 20 = 0

2x = -20

x = -20 \div 2

x = -10


x_{1} = 0 
x_{2} = -10 


Ecuaciones Cuadráticas

Estas ecuaciones se conocen como ecuaciones cuadráticas. Se dice que una ecuación cuadrática escrita de la forma ax² + bx + c = 0 está escrita en la forma estándar. En ocasiones, una ecuación cuadrática se llama ecuación de segundo grado, por que el lado izquierdo es un polinomio de grado 2. Se analizarán tres maneras de resolver ecuaciones cuadráticas: factorizando,completando al cuadrado y usando la fórmula general.


Complementación al cuadrado

Procedimiento para complementar al cuadrado

Inicio
x^{2}+ mx

Sumar
 (m/2)^{2}

Resultado
 x^{2} + mx + (m/2)^{2} = ( x + m/2)^{2}


Metodo de Factorizacion

Este método esta basado en la propiedad de la multiplicación por cero. Si  a y  b son números reales y  a . b = 0 , entonces  a = 0 o  b = 0 .

Ejemplo 1

Resolver  2x^{2} + 5x - 3 = 0



Por factorización, obtenemos la ecuación:
 (x + 3) (2x - 1) = 0

Aplicando la propiedad de la multiplicación por cero llegamos a que:

 x + 3 = 0 o  2x - 1 = 0
Las soluciones de estas ecuaciones lineales son:

 x = -3 y  x = \frac {1}{2}

Ejemplo 2

Encontrar  t^{2} + 3t - 4 = 0

Primero lo escribimos en la forma factorizada:

 (t + 4) (t - 1) = 0

Y ahora usamos la propiedad de multiplicacón por cero:

 t + 4 = 0 y  t - 1 = 0

De donde obtenemos que:

 t = -4 y  t = 1

Ejemplo 3

Econtrar la solucion de :

x^{2}+5x+6=0

Solucion:

x^{2}+5x+6=0

 (x+2)(x+3)=0

Ahora igualamos cada factor a 0 y se resuelven las ecuaciones de primer grado. Primera ecuacion...  x+2=0

 x=-2

segunda ecuacion... x+3 = 0

 x= -3

--Edurbina 18:18 13 ene 2010 (CST)edurbina Seccion B

Fórmula General

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 ac}}{2a}

Aca sustituimos las letras por números de la siguiente forma:

a = coeficiente de la incognita que esta elevada al cuadrado.

b = coeficiente de la incognita que no esta elevada.

c = la constante.

Deducción de la Fórmula General

La técnica de completar el cuadrado en una expresión cuadrática es muy útil en otras situaciones. Esta ecuación también es conocida como ecuación cuadratica y viene de la ecuación  ax^{2} + bx + c = 0  a \neq 0 en términos de los coeficientes  a, b y  c . Primero escribimos la ecuación de modo que su coeficiente principal sea 1:

 x^{2} + \frac {b}{a} x + \frac {c}{a} = 0

Luego completamos el cuadrado y despejamos  x

 x^{2} + \frac {b}{a} x = \frac - {c}{a}

 x^{2} + \frac {b}{a} x + ( \frac {b}{2a} ) ^ {2} = - \frac {c}{a} + ( \frac {b}{2a} ) ^ {2}

 ( x + \frac {b}{2a} ) ^{2} = \frac {b^{2} - 4ac} {4a^{2}}

 x + \frac {b}{2a} = \sqrt{ \frac {b^{2} - 4ac} {4a^{2}} }

 x + \frac {b}{2a} = \sqrt { \frac {b^{2} - 4ac} {4a^{2}}}

Si  a > 0 entonces  \sqrt {4a^{2} } = 2a y tenemos entonces que:

 x = \frac {-b + \sqrt {b^{2} - 4ac}} {2a}

Ejemplo 1

x^{2} - 4x - 5 = 0

x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^{2} + 20}}{2}

x = \frac{4 \pm 6}{2}

x_{1}= \frac{10}{2} = 5

x_{2}= \frac{-2}{2} = -1

Aplicaciones

Ejemplo #1


El perímetro de un rectángulo es 60 pies. Encuentre su longitud y su ancho
si la base es 8 pies más larga que el altura.

Planteamos la ecuación, sabiendo que la el perímetro de un rectángulo es,

2*(base) + 2*(altura)


la ecuación quedaría,
2x + 2(x+8)=60
donde x es la altura y
(x+8) es la base del rectángulo
operamos.
2x+2x+16=60 //sumamos los términos con X
4x+16=60 // restamos 16 de ambos lados de la ecuación
4x=44 // despejamos x
x=11
entonces tenemos que,

la altura es x=11
y la base (x+8)=(11+8)=19


Ejemplo #2


Debe construirse una caja abierta a partir de una hoja cuadrada de metal cortando cuadros de 1 pie
en cada esquina y doblando las orillas hacia arriba. si la caja debe tener 4 pies cubicos de capacidad,
¿cuales deben ser las dimenciones de la hoja de metal?
recordando que el area de la caja es,

base * altura * ancho


y que la altura de la caja es de 1 pie.
planteamos la siguiente ecuacion
1*(2-x)*(2-x)
donde 1 es la altura
(2-x) es el ancho y la base
operamos.
 x^{2}-4x+4=4 pies^{3}
despejamos x
 x^{2}-4x=0
 x(x-4)=0
suponemos que, como x esta multiplicando a (x-4) y para que se haga verdadera la ecuacion, se debe cumolir que x_{1}=0
entonces tenemos que
x-4=0
entonces.
x=4
por lo que la dimenciones de la hoja son.

base= 4 pies 
altura= 4 pies

Ejemplo 3

El area de un rectalgulo es de  138 cm^{2} . Si la longitud es  5cm mas que 3 veces el ancho, encontrar las dimensiones del rectangulo.


Designamos  a como el ancho del rectangulo en centimetros. entonces  3a + 5 es la longitud del rectangulo en centimetros. y  a(3z + 5) = 138

Para poder utilizar la formula cuadratica reescribimos esta ecuacion como:

 3a^{2} + 5a - 138 = 0

De la formula cuadratica obtenemos que  a = -\frac {23}{3} o  a = 6 . Ya que el ancho de un rectangulo debe ser positivo, descartamos la primer solucion. En consecuencia, la longitud es  3(6) + 5 = 23 y las dimensiones del rectangulo son 6cm y 23cm.

Ejemplo 4

En el curso de matematica un alumno tiene las siguientes notas de examenes cortos: 65, 60, 70, 72 ¿ que calificacion necesita en su siguiente examen para ganar el curso con un promedio de 80?

Entonces sabemos que la variable a encontrar es la nota del siguiente examen, y le asignamos el valor "x".
Planteamos la siguiente ecuacion 65 + 60 + 70 + 72 + x / 5 = 80
267 + x / 5 = 80
267 + x = ( 80 * 5)
267 + x = 400 x = 400 - 267
x = 133

Entonces sabemos por el planteamiento de la ecuacion que la nota que tendria que sacar el alumno es de 133 para tener un promedio de 80.


ENCONTRANDO CEROS EN LA ECUACIÓN

Consiste en encontrar el valor de la variable "x", se sustituira en toda la ecuación, se operara dependiendo del signo que este indicado en la ecuación y tendrá que dar como resultado 0.

y = x^{2}-4x+4


PASOS

   1. Factorizar completamente la ecuación

y = x^{2}-4x+4
 (x-2) ;   (x-2)

   2. Igualamos a 0 la factorización

y = x^{2}-4x+4
 (x-2)   ; (x-2)
 x-2=0   ;  x-2=0

   3. Operamos y obtenemos el valor de la variable

y = x^{2}-4x+4
 (x-2)  ;  (x-2)
 x-2=0  ;   x-2=0
 x=2    ;   x=2

Problemas de Aplicacion

La matematica proporciona herramientas para solucionar problemas de la vida cotidiana, algunos son faciles de resolver por metodos aritmeticos, mientras que otros requieren resolverse por procesos algebraicos.

Ejemplo # 1

Una pista de patinaje ofrece a los estudiantes de una secundaria la siguiente promocion: 3 jovenes pueden patinar comprando solo 2 boletos. Cuantos boletos deben adquirirse para 24 estudiantes?

Solucion: El proceso de solucion podria ser mental mediante deduccion, sin embargo, a continuacion utilizaremos un procedimiento algebraico para encontrar la respuesta.

inicialmente, como el numero de boletos a comprar no se conoce, se le asigna un valor no definido representado por una letra o por un simbolo. En este caso se le asigna la literal "X"; como el valor que representa no es conocido y puede tomar cualquiera, se le denomina "valor variable" o simplemente "variable". Para resolver el problema se plantea una igualdad que representa la condicion que se debe cumplir. Se sabe que para que entren 24 estudiantes debe cumplirse con la promocion de la pista de patinaje, representada por la razon de comprar 2 boletos / 3 estudiantes (2 boletos por cada 3 estudiantes). Utilizando el concepto de proporcion.

                                          xboletos      =     2 boletos
                                       --------------       -------------
                                       24 estudiantes       3 estudiantes

o simplemente

                                                      x  =  2
                                                     ---   ---
                                                     24     3

Mediante el proceso de solucion de ecuaciones lineales

                                                         2
                                                     x= --- * 24
                                                         3
                                                    x= 16 Boletos

RESPUESTA: para que entren los 24 estudiantes, es necesario comprar 16 boletos.


Ejemplo # 2

Durante las pasadas vacaciones tres amigas, Rosa, Paola y Blanca, hicieron collares para vender. Rosa hizo 13, Paola 10 y Blanca 12. Al venderlos, obtubieron una ganancia de Q280.00, la que quieren repartir de manera proporcional al trabajo que cada una realizo. Cuanto le tocara a cada una?


Solucion:

1. El total de colares fabricados es de 35 2. La razon o fraccion de collares que fabrico Rosa en relacion con el total es de 13/35. 3. Para que el reparto sea justo, Rosa debe recibir de los Q280.00 una parte proporcional al trabajo de collares que elaboro:


                                                    x   =   13
                                                   ---     ----
                                                   280      35

4. Despejando el valor de x:


                                                    x= 13 * (280)
                                                       --
                                                       35
                                                      x= 104

5. De esta manera se obtiene la ganancia que corresponde a Rosa. El procedimiento es el mismo para las otras amigas.


               x= 10 * (280)                                                            x= 12 * (280)
                  --                                                                       --
                  35                                                                       35


                 x= 80                                                                    x=96

6. Para verificar el reparto se suma la ganancia de cada una, la qu debe ser igual al total de la ganancia.


                                                 104 + 80 + 96 = 280

7. La RESPUESTA es que Rosa trabajo 13 collares y le corresponde una ganancia de Q104.00, Paola hizo 10 collares y le corresponde una ganancia de Q80.00 y Blanca hizo 12 collares y le corresponde una ganancia de Q96.00.

Ejemplo # 3

Escribe el siguiente problema utilizando una incógnita y resuélvelo: ”Si la suma de un número y 25 es igual a 100, ¿cuál es el número?


Solución


El número es aquél que sumado con 25 da como resultado 100. Esto se puede resumir en el siguiente esquema:


Procedimiento:


Si x es el número que buscamos, entonces x más 25 debe ser 100. Enseguida, determinamos el valor de x.

Operación y resultado: x + 25 = 100 x + 25 – 25 = 100 – 25 x + 0 = 75 x = 75


Respuesta: El número es 75.


Ejemplo # 4

José calcula la edad de sus compañeros dándoles las siguientes instrucciones: “piensa en tu edad, multiplícala por 10, a ese número réstale 18 y dame el resultado”. Con esta fórmula José obtiene la edad del compañero. Por ejemplo, si el resultado es 112 la edad es 13 años. Descubre el método que utiliza José, designando por una x la edad que pensó el compañero.


Solución


Esto se puede resumir en el siguiente esquema:

Procedimiento:


Si x es la edad pensada y repetimos el procedimiento de José, obtenemos lo siguiente: - el número pensado multiplicado por 10 es: 10·x - a este número hay que restarle 18, esto es: 10x - 18 - el resultado es 112, es decir, · 10 x – 18 = 112

Operación y resultado: x · 10 – 18 = 112 x · 10 = 112 + 18 x · 10 = 130 x = 130 : 10 x = 13 x = 13


Respuesta:


El método que utiliza José es: “sumar 18 al resultado que le han entregado y luego dividir por 10”. El número obtenido es la edad del compañero.


Problemas de Aplicacion Utilizando Porcentajes

En esta seccion, se dijo que una razon es la comparacion de dos cantidades o medidas, cuando esta comparacion se hace entre dos magnitudes que tienen la misma dimensional de medida, entonces la razon se puede expresar como un porcentaje.

Ejemplo #1

A un mercader le quedan dos naranjas de cincuenta que tenia a la venta. Que porcion de la venta se a perdido?

Esta situacion se expresa mediante la siguiente razon:

                                                    2 naranjas
                                                  --------------
                                                    50 naranjas 

Si se realiza la division, el cociente de la fraccion se expresa en forma decimal como:

                                                     2 naranjas
                                                  -------------- = 0.04
                                                    50 naranjas 


La razon expresada en forma decimal se denominra "razon relativa" o bien "razon decimal", dependiendo de la aplicacion puede recibir nombre, como: indices, concentraciones, indicaciones, entre otros. Observe que la razon decimal aparenta ser adimensional puesto que para este caso las dimensionales se cancelan. Sin embargo lo correcto seria escribirla como 0.004 naranjas/naranjas, que para este caso significa: "se pierden 0.04 de naranja poer cada naranja puesta a la venta". Esta frase no tiene mucho sentido al escucharla, por lo que se prefiere buscar una fraccion que pueda ser mas comprensible. En terminos comerciales y populares se utiliza el porcetaje (%), puesto que se considera que al expresarlo como una fraccion de 100 es mas facil de interpretar:


                                             0.04 * 100 =   4
                                                    ---    ---
                                                    100    100


                                             o simplemente 4%


Observe que al expresarlo como 4%, indica que cada 100 naranjas puestas a la venta, 4 se pierden. Intuitivamente, el valor de porcentaje indica una peque?a perdida en la venta de estas frutas.


Ejemplo # 2

Arturo y Laura estan inventando una receta de bebida de frutas en la cual se combina jugo de uva con jugo de naranja. Si la mezcla total tiene 500 ml, y se sabe que se agrego 200 ml de jugo de naranja, Que porcentaje de la mezcla es jugo de uva? Que cantidad de jugo de uva se requiere para preparar 360 galones de bebida?

Solucion:

   Si se tiene 200 ml de jugo de naranja, entonces se mezclo con 300 ml de jugo de uva para obtener los 500 ml que indica el enunciado del problema. La razon entre la cantidad de jugo de uva y el total de la bebida es: 
                                                        300 ml = 0.6
                                                        ------
                                                        500 ml
   Al multiplicarlo por 100, se obtiene el 60% de la mezcla es jugo de uva. Para saber cuantos galones se requieren de jugo de uva, entonces se plantea nuevamente la proporcion. Supongamos que "x" sea el numero de galones requeridos de jugo para fabricar la bebida, entonces: 
                                                        x  =  0.6
                                                      -----
                                                       360
                                                       x= 0.6 * 360
                                                       x= 216 Galones

observe que el porcentaje se calculo con mililitros, mientras que el calculo final es con galones. Esta es una ventaja de los porcentajes, que brindan una proporcion de las partes del elemento de interes sobre el total.


Ejemplo # 3

En Mayo de 1991, el precio de un automovil usado, modelo 86, era de Q20,000.00. Al cerrar el trato, un comprador debia entregar un enganche del 40% y el resto debia cubrirse en 3 mensualidades. Cuanto debe ser el pago inicial?


a) Que preguntan? El total del enganche.

b) Que datos se conocen? El precio de Q20,000.00

                              El enganche debe ser el 40%

c) Que operacion se debe efectuar? Como la razon en el porcentaje es equivalente a la razon entre el enganche y

                                        el precio total, se establece una proporcion.



| Proporcion | Solucion | Respuesta |


| | | | | |--> x = 40 | x= 40 * 20,000 |Debe darse un enganche de Q8,000| | | ------- ----- | --- | | | | 20,000 100 | 100 | | | | /\ | | | | \/ | | x= 8,000 | | | razon enganche| | | | 40% precio total| | |



Ejemplo # 4

Juan Compro un vehiculo nuevo, el cual tiene un rendimiento de 50 kilometros por galon en carretera. Si un viaje por la costa sur recorrio 175 kilometros, Cuantos galones de gasolina consumio?


                                                    175 =  50 km
                                                    ---    -----
                                                     x      1 gl


                                                     x  =  1
                                                    ---   ---
                                                    175   50

                                                     x=  1  * 175
                                                        ---
                                                         50
                                                    x= 3.5


RESPUESTA: Juan consumio 3.5 galones en su viaje

PRUEBA

Solo sustituimos el valor de la variable en toda la ecuación y dará como resultado 0.

y = x^{2}-4x+4
y =(2)^{2}-4(2)+4
y =   4   -  8 +4
y =       -4 + 4
y =       0


Ejemplo.jpg

Ejemplo5

la ecuacion

x^2+6x+9=0

usmos la formula cuadratica para encontrar los valores de x

x1=-3 y x2=-3

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