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Ecuaciones Diferenciales Bernoulli, por WikiMatematica.org
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Ecuaciones Diferenciales Bernoulli

De por WikiMatematica.org


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Contenido

Forma General


\:\: \ y' + p(x)y = f(x)y^n\:\:\  n\epsilon R 



Algoritmo de Solución

  1. \ u=y^{1-n}

    u'=(1-n)\y^{-n}\y^1

    \frac{u'}{(1-n)}=y^{-n}y^1

  2. \ y' + p(x)y = f(x)y^n \:\ \left \| \ \cdot y^{-n}

    y'y^{-n} \ + \p(x)y^{1-n}=\ f(x)

  3. Sustituimos u' y u en la ecuacion

    \frac{u'}{(1-n)} + p(x)\ u = \ f(x) Nos queda por resolver una EDO lineal


Ejemplos


Ejemplo 1

xy' + y = x^2y^2


Paso 1 encontrar u y u'

  • u= y^{1-2}
    u =y^{-1}

  • u' = -y^{-2}y^1
    -u'= y^{-2}y^1

Paso 2 multiplicamos por y^{-n}

  • xy^{'} + y = x^2y^2 \:\ \left \| \ \cdot y^{-2}

    xy^{'}y^{-2} + y^{-1} = x^2


'Paso 3 sustituimos u y u' en la ecuación'

    -xu^{'} + u = x^2 Resolvemos la EDO lineal que nos queda
  • -xu^{'} + u = x^2 \:\ \left \| \ \cdot - \frac{1}{x}

    u' - \frac{1}{x} \u = x^2

    Encontramos e^{\int {- \frac {1}{x}}} :\ = \frac{1}{x}

    -xu^{'} - \frac{1}{x} ux = - x \:\ \left \| \ \cdot  \int du

    \frac {1}{x} \ u = -1

    ux = -x + c

    u = -x^2 + cx Sustituimos u

    y^{-1}=-x^2 + cx

    y(x) = \frac {1} {-x^2 + cx}
  • Ejemplo 2

    2xyy'= 4x^+3y^2


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