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Ecuaciones Diferenciales Generales

De por WikiMatematica.org

En general, una ecuación diferencial contiene una función desconocida y una o más de sus derivadas. El orden de una ecuación diferencial es el correspondiente a la derivada de orden más alto que se tenga en la ecuación.
Por ejemplo, cuando consideramos la ecuación diferencial:  y' = xy
se entiende que  y es una función desconocida de  x .

Se dice que una función  f es una solución de una ecuación diferencial si esta se satisface cuando se sustituyen  y = f(x) y sus derivadas en ella. Así pues  f es una solución de la ecuación. si  f'(x) = xf(x)
para todos los valores de  x en un intervalo.
Cuando se nos pide que resolvamos una ecuación diferencial, se espera que hallemos todas las soluciones posibles de la ecuación. Ya hemos resuelto algunas ecuaciones diferenciales particularmente sencillas; a saber, las de la forma:  y' = f(x) Por ejemplo, sabemos que la solución general de la ecuación diferencial  y' = x^{3} es  y = \frac x^{4}{4} + C donde "C" es una constante arbitraria.

Pero, en general, resolver una ecuación diferencial no es un asunto fácil. No existe una técnica sistemática que nos permita resolver todas las ecuaciones diferenciales.

Ejemplo # 1

Demuestre que todos los miembros de la familia de funciones  y = \frac {1 + ce^{t}} {1 - ce^{t} } son soluciones de la ecuación diferencial  y' = \frac {1}{2} (y^{2} - 1).

Usaremos la regla del cociente con el fin de derivar la expresión para  y

 y' = \frac {(1 - ce^{t}) (ce^{t}) - (1 + ce^{t}) (- ce^{t})} {(1 - ce^{t})^{2} }

 = \frac {ce^{t} - c^{2} e^{2t} + ce^{t} + c^{2}e^{2t} } {(1 - ce^{t}) ^{2} }

 = \frac {2ce^{t}} {(1 - ce^{t}) ^{2} }

El segundo miembro de la ecuación diferencial queda:

 \frac {1}{2} (y^{2} - 1) = \frac {1}{2}  ( \frac {1 + ce^{t}} {1 - ce^{t}} ) ^{2} - 1

 = \frac {1}{2} ( \frac {(1 +ce^{t})^{2} - (1 - ce^{t}) ^{2}} {(1 - ce^{t}) ^{2} }

 = \frac {1}{2} \frac {4ce^{t}} {( 1 - ce^{t})^{2}}

 = \frac {2ce^{t}} {(1 - ce^{t}) ^{2} }

Por lo tanto, para todos los valores  c , la función es una solución de la ecuación diferencial.

Al aplicar las ecuaciones diferenciales no solemos tener interés en hallar una familia de soluciones (la solución general), deseamos hallar una solución que satisfaga algún requisito adicional. En muchos problemas físicos, necesitamos encontrar la solución particular que satisfaga una condición de la forma  Y(to) = Yo . Esta se conoce como condición inicial y el problema de hallar una solución de la ecuación diferencial que cumpla la condición inicial se llama problema con valor inicial.

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