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Ecuaciones Diferenciales Homogeneas

De por WikiMatematica.org


http://youtu.be/T9sayf5jlEA

Contenido

Función Homogénea

       Decimos que una función (x,y) es homogénea 
       de grado 'n' si:
                 f(\alpha x,\alpha y)= \alpha ^{n} f(x,y)

Ejemplo # 1

        Determine si la función es homogénea: f(x,y) = x^{2}y - x^{3}
    Solución:
                    f(\alpha x,\alpha y)= (\alpha x)^{2} (\alpha y)- (\alpha x)^{3}         
=(\alpha)^{2}(x)^{2}(\alpha y) - (\alpha)^{3}(x)^{3}
=(\alpha)^{3}(x)^{2}(y) - (\alpha)^{3}(x)^{3}
=(\alpha)^{3}  [(x)^{2}(y) - (x)^{3}]

Por lo tanto  f(\alpha x,\alpha y)=(\alpha)^{3}  [(x)^{2}(y) - (x)^{3}]= \alpha^{3} f(x,y)
La función f(x,y) = x^{2}y - x^{3} es Homogénea de grado 3

Ejemplo 2

        Determine si la función es homogénea : f(x,y) = \frac{x-y}{x}
 
   Solución:
                  f(\alpha x,\alpha y)= \frac{\alpha x- \alpha y}{\alpha x} 
= \frac{\alpha (x-y)}{\alpha x}
= \frac{x-y}{x}

Por lo tanto f(\alpha x,\alpha y) = (\alpha)^{0)(\frac{x-y}{x}) = \alpha  ^{0} f(x,y)
La función f(x,y) = \frac{x-y}{x} es Homogénea de grado 0



Ejemplo 3

Determinar si la función es homogénea para:  f(x,y) = \frac {{\sqrt {x^{2} + y^{2}}}} {x}


Probamos,  f(tx,ty) =  \frac {{\sqrt {(tx)^{2} + (ty)^{2}}}} {tx}  =>  \frac {{\sqrt {t^{2}[x^{2}+y^{2}]}}} {tx}  =>  \frac {t{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}} {tx} cancelamos "t"

Respuesta Final:

 \frac {{\sqrt {x^{2} + y^{2}}}} {x} entonces podemos decir que  f(x,y) = f(tx,ty) por lo tanto es una función Homogénea de grado 0.

WC

Ejemplo 4

Determinar si la función es homogénea para:  f(x,y) = \frac {x^{2} + x + y^{2}}{y}


Probamos,  f(tx,ty) =  \frac {(tx)^{2} + tx + (ty)^{2}}{ty}  =>  \frac {tx^{2} + x + ty^{2}}{y}

Respuesta Final:

 f(x,y) no es igual a  f(tx,ty)

Para que una expresión pueda ser una función homogénea esta tiene que tener el mismo grado en el numerador como en el denominador, por lo tanto podemos decir que esta ecuación NO ES HOMOGÉNEA.

WC

ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA

              Una EDO es homogénea si se puede llegar a escribir de alguna de las formas siguientes: 
y'= f(x,y) con f(x,y) función Homogénea de cualquier grado.
f(x,y)dx + g(x,y) dy = 0 con f(x,y) y g(x,y) funciones homogéneas del mismo grado

Algoritmo de Solución

              
1) Comprobar que la EDO es homogénea

2) Proponemos : Z(x) = \frac{y}{x}
por lo que tenemos:  y = x z
y' = z + xz'
dy = z dx  +  x dz

3)Sustituimos en la EDO (Nos quedará una EDO Separable)

4) Resolvemos para Z(x)

5) Restituimos para Y(x)



Ejemplo 1


Resolver: y'= \frac{xy+y^{2}}{x^{2}}

Solución: Siguiendo el algoritmo de solución:

P.1) EDO homogénea de grado 0

P.2) Proponemos:

                           Z(x) = \frac{y}{x} 
por lo que tenemos:  y = x z
y' = z + xz'
dy = z dx  +  x dz

P.3) Sustituimos en la EDO:

                           z+xz'= \frac{x*(xz)+(xz)^{2}}{x^{2}} 
z+xz'= \frac{x^{2}z+x^{2}z^{2}}{x^{2}}  ||factor común->x^{2}
z+xz'=z+z^{2}
z-z+xz'=z^{2}
xz'=z^{2}
\frac{z'}{z^{2}}=\frac{1}{x}

P.4) Resolvemos para Z(x):

                           \int\frac{dz}{z^{2}}=\int\frac{dx}{x} 
\frac{-1}{z}=ln{|x|}+c  || Sustituimos->z
\frac{-x}{y}=ln{|x|}+c

P.5) Sustituimos para Y(x):

                           y=\frac{-x}{ln{|x|}+c} 

Ejemplo 2


Resolver : (X + Y) dx - (X - Y) dy = 0

Solucion:

P.1) comprobamos que es una Ecuacion Homogenia por que tenemos

        de la ecuacion (X + Y) dx - (X - Y) dy = 0

           f(x,y) = (X + Y)          g(x,y)= -(X - Y)

P.2) sustituimmos : Z(x) = \frac{y}{x}


por lo que tenemos:

                             y = x z
                             y' = z + xz'
                             dy = z dx  +  x dz

P.3)

(X + Y) dx - (X - Y) dy = 0

(X + XZ)dx - (x-xz)(Z dx + X dz) = 0

Xdx + XZ dx - XZ dx - X^2 dz + XZ^2 dx + X^2Z dz = 0 | | * \frac{1}{X}

dx + Zdx - Z dx - Xdz + Z^2 dx + XZ dz = 0

dx - Xdz + Z^2 dx + XZ dz = 0

(1 + Z^2)dx + Xdz (Z - 1) = 0

X ( Z - 1) dx = -(1+Z^2) dx

\frac{(Z-1)}{(1+ Z^2)} dz = \frac{-1}{X} dx  | | \int_{}^{}



P.4)           \int_{}^{} \frac{(Z-1)}{(1+ Z^2)} dz = \int_{}^{} \frac{1}{X} dx

\frac{ln(Z^2 +1)}{2}  - tg^{-1} (Z) = -ln(x) + C



P.5)          ln(\frac{(\frac{y}{x})^2 + 1}{2}) - tg^{-1} (z) = - ln(x) + C






ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA CASI HOMOGÉNEA

  Una EDO es casi homogénea si se presenta de la siguiente manera: 
f(x,y)+c dx + g(x,y)+k dy = 0 siendo c y k constantes
                                  por lo que proponemos:
                                       
 x= u + c1
 y= v + c2


Ejemplo 1


Resolver: (x-y-1)dx+(x+4y-6)dy=0

Solución: Proponemos:

                                   x= u + c1  
 y= v + c2


Sustituimos en f(x,y) y g(x,y):

    
 (u+c1)-(v+c2)-1
 u-v+c1-c2-1
&  (u+c1)+4(v+c2)-6
 u+4v+c1+4c2-6


Resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones:

    
 c1-c2-1=0
 c1+4c2-6=0
solucion  c1=2 ; c2=1
entonces  x=u+2 => dx=du ; y=v+1 => dy=dv


Seguimos los paso para una EDO homogenea:

P.1) Al sustituir en la EDO:

                            (u-v)du + (u+4v)dv = 0 
EDO homogénea de grado 1

P.2) Proponemos:

                           Z(x) = \frac{v}{u} 
por lo que tenemos:  v = u z
v' = z + uz'
dv = z du  +  u dz

P.3) Sustituimos en la EDO:

                           (u-uz)du + (u+4uz)(zdu+udz) = 0 
(1-z)du + (1+4z)(zdu+udz) = 0
du - zdu + zdu + udz + 4z^{2}du + 4uzdz = 0
du + udz + 4z^{2}du + 4uzdz = 0
(1+4z^{2})du + (u+4uz)dz = 0
(u+4uz)dz = -(1+4z^{2})du
\frac{1+4zdz}{1+4z^{2}}=-\frac{du}{u}

P.4) Resolvemos para Z(x):

                           \int\frac{1+4zdz}{1+4z^{2}}=\int-\frac{du}{u} 
\frac{ln(4z^{2}+1)+\arctan{(2z)}}{2}=-ln{|u|}+c
\frac{ln(4(\frac{v}{u})^{2}+1)+\arctan{(2(\frac{v}{u}))}}{2}=-ln{|u|}+c

P.5) Sustituimos para Y(x):

                           restiuir u=x-2;v=y-1 
\frac{ln(4(\frac{y-1}{x-2})^{2}+1)+\arctan{(2(\frac{y-1}{x-2}))}}{2}=-ln{|x-2|}+c

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