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Ecuaciones Diferenciales Lineales, por WikiMatematica.org
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Ecuaciones Diferenciales Lineales

De por WikiMatematica.org


http://youtu.be/rMIRcTf0mUU

Una EDO es lineal si mediante operaciones algebraicas puede expresarse de la forma:


 A(x)y'+Ao(x)y = f(x)

Escrita de la forma estándar tenemos:


 y'+P(x)=f(x)

La solución de una EDO Lineal se forma con la suma de las dos soluciones:
1) La solución Homogénea Yh
2) La solución Particular Yp

 Y(x)= Y_h + Y_p

Para la solución Yh vamos a hacer f(x) = 0

 y' + P(x) = o Es separable.
 y'= -P(x)y Pasamos a dividir "y".
 \frac{y'}{y} = -P(x) Integramos de ambos lados.

 \int \frac{1}{y} dy = -\int P(x) dx

 ln(y) = -\int P(x) dx + c Ambos lados por e.
 Yh = c e^{\int P(x) dx}


Para el cálculo de Yp proponemos:

 Yp = u(x) e^{-\int P(x) dx}
 Yp'= u'(x) e^{-\int P(x) dx} - P(x) u(x) e^{-\int P(x) dx}

En  Y' + P(x) y = f(x) Sustituimos:

 u'(x) e^{-\int P(x) dx} - P(x) u(x) e^{-\int P(x) dx} + P(x) u (x) e^{-\int P(x) dx} = f(x)

De donde podemos eliminar  P(x) u(x) e^{-\int P(x) dx}

 u'(x) e^{-\int P(x) dx} = f(x) Multiplicamos ambos lados por  e^{\int P(x) dx}

 u'(x) = f(x) e^{\int P(x) dx} dx

 \int du = \int f(x) e^{\int P(x) dx}

 u(x) = \int f(x) e^{\int P(x) dx} dx Sustituimos en Yp

 Yp = e^{-\int P(x) dx} \int f(x) e^{\int P(x) dx} dx De donde obtenemos:

  Y(x) = c e^{-\int P(x) dx} + e^{-\int P(x) dx} \int f(x) e^{\int P(x) dx} dx

Teniendo Yp y Yh ya podemos calcular Y de la siguiente manera:

 Y = c e^{-\int (x) dx} + e^{-\int P(x) dx} \int f(x) e^{\int P(x) dx} dx

 e^{\int P(x) dx} y = c + f(x) e^{\int P(x)dx} dx Operamos ambos lados con  \frac {d}{dx}

 P(x) e^{\int P(x) dx} y + e^{\int P(x) dx} y' = f(x) e^{\int P(x) dx}

 P(x) y + y' = f(x)



Algoritmo de Solución para una EDO Lineal

1) Escribir la EDO en la forma  y' + P(x) = f(x)

2) Calculamos  e^{\int P(x) dx} Esto es conocido como "factor integral"

3) Multiplicar   e^{\int P(x) dx} por la EDO

4) Tenemos la EDO en la forma:
 \frac {d}{dx} [ e^{\int P(x)dx} y] = f(x) e^{\int P(x) dx}

5) Integrar:  e^{\int P(x) dx} y = \int f(x) e^{\int P(x) dx} + c

6) Despejar Y (Multiplicando  e^{-\int P(x) dx} de ambos lados)



Contenido

Ejemplo # 1

Resolver:

  •  y'-3y = 6

El primer paso es identificar que tipo de EDO es, en este caso es un EDO Lineal.
Ahora tenemos que identificar quien es  P(x) , en este caso  P(x)= -3

 e^{\int -3dx} = e^{-3x} Multiplicamos por   e^{-3(x)} de ambos lados

 \frac {d}{dx} [e^{ -3(x) dx} y] = f(x) e ^{-3(x) dx} Operamos de ambos lados  \int ... dx

 e^{-3(x)} y = \int6 e^{-3(x)} dx

 e^{-3(x)} y = - 2e^{-3(x)} + c Operamos ambos lados con  e^{3(x)}

Y Obtenemos que:
 Y = -2 + ce^{3x}


Ejemplo # 2

Resolver:

  •  x\frac {dy}{dx}-4y = x^{6}e^{x}

Solucion:
multiplicamos ambos lados de la igualdad por \frac{1}{x} para poder dejar la expresión en forma de Ec. Lineal.

 \frac {dy}{dx}-4\frac{y}{x}=x^{5}e^{x} , donde a(x) =  -\frac{4}{x} y b(x) = x^{5}e^{x}.

El factor integrante viene siendo dado por:

\mu = e^{\int a(x)dx}  =>  \mu = e^{\int-\frac{4}{x}dx}  =>  \int-\frac{4}{x}dx = -4ln(x)

 \mu = [(e^{ln(x)})]^{-4}  =>  x^{-4} => \mu = \frac {1}{x^{4}}

Multiplicando El factor integrante por toda la expresion lineal,

 \frac {d}{dx}[\frac {1}{x^{4}}y] = \frac {1}{x^{4}}x^{5}e^{x}  =>  \frac {d}{dx}[\frac {1}{x^{4}}y] = xe^{x} // \int ()dx

 \int \frac {d}{dx}[\frac {1}{x^{4}}y] = \int xe^{x}dx donde la Integral de la derivada de una expresión, es la misma expresión...

 \frac {1}{x^{4}}y = xe^{x} - e^{x} + C  => \frac {1}{x^{4}}y = C + (x - 1)e^{x} , despejamos "Y"

Respuesta Final:
 y = Cx^{4} + (x^{5} - x^{4})e^{x}


Resolver :

  •  (x^{2} - 9)y' -xy = 0

El primer paso es llevar la ecuación a la forma estandar, en este caso multiplicando ambos lados de la ecuación por  \frac {1} {(x^{2} - 9)}
Esto deja la ecuación:  y' -\frac {x} {(x^{2} - 9)}y = 0
Luego identificamos  P(x)= -\frac {x} {(x^{2} - 9)} , luego calculamos  e^{\int P(x) dx}

Esto es:  e^{\int -\frac {x} {(x^{2} - 9)} dx} = e^{-\frac {1}{2} ln|x^{2} - 9|} = e^{ln(x^{2} - 9)^{\frac {1}{2}}} = (x^{2} - 9)^{-\frac {1}{2} }

Luego se multiplican ambos lados de la ecuación por  (x^{2} - 9)^{-\frac {1}{2}}
dando como resultado:  \frac {d}{dx} [(x^{2} - 9)^{-\frac {1}{2}} y] = 0
Luego integramos los dos lados de la ecuación, resultando:  (x^{2} - 9)^{-\frac {1}{2}} y = 0

 (x^{2} - 9)^{-\frac {1}{2}} y = C  Por ultimo, multiplicamos toda la ecuación por (x^{2} - 9)^{\frac {1}{2}}

dando como resultado final:  y =C (x^{2} - 9)^{\frac {1}{2}}

Doc

Ejemplo # 4

- y’ = y es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como soluciones y = f(x) = k · e^x, con k un número real cualquiera.

- y’’ + y = 0 es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones y = f(x) = a cos(x) + b sin(x)

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