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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Parciales

De por WikiMatematica.org

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que aparecen varias funciones y sus derivadas. De acuerdo al número de variables independientes a la que se deriva, las ecuaciones se clasifican en:


  • Ecuaciones diferenciales ordinarias: Son las ecuaciones donde todas las funciones y sus derivadas dependen de solo una variable independiente, es decir: y = f(x)


  • Ecuaciones diferenciales parciales: Son ecuaciones donde las funciones y sus derivadas dependen de más de una variable independiente, es decir: z = f(x,y)


Estructura Operativa de una EDO


U = \left ( A,+,*,\frac{\partial^nf}{\partial x^n},= \right ) en donde: A={ f / f es continua y diferenciable hasta el orden n.
El orden de una ecuación diferencial es el de la derivada de mayor orden en la ecuación.

El grado de una euación diferencial algebraica respecto a sus derivadas es el grado algebraico de su derivada de mayor orden.

\frac{\partial^2y }{\partial t^2}+2\left ( \frac{\partial y}{\partial t} \right )^{2}= 1 - Orden = 2 y Grado = 1
x\left ( \frac{\partial }{\partial x}  * y\right )^{3} + \left ( \frac{\partial }{\partial x} * y \right )^{2}+y=sen (x) - Orden = 1 y Grado = 3


Ejemplos

Ecuaciones diferenciales Ordinarias:

\frac{dy}{dx} + y =0

\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + 2\frac{dy}{dx}=e^{x}


Ecuaciones diferenciales parciales:

\frac{dz}{dx} + \frac{dz}{dy} =x

Estas ecuaciones tienen más de una variable independiente.


Dada la ecuación diferencial, verificar que y es solución


  • \frac{\partial(f) }{\partial(x) } x^{2}y^{2}=2xy^{2} En este caso se toma la otra variable como una constante y solamente se deriva x.



  • y'' - 2y' + y = 0

siendoy = xe^x

Entonces:


y' = e^x + xe^x

y''= e^x + e^x + xe^x

2e^x+e^x-2(e^x+xe^x)+xe^x = 0

2e^x + xe^x - 2e^x - 2xe^x + xe^x = 0

0 = 0 es una identidad; por lo tanto, yes solución.



  • y' = xy^\frac{1}{2}

siendo y = \frac{1}{16}x^4


Entonces:

y'= \frac{1}{4}x^3 = x (\frac{1}{4}x^3)

\frac{1}{4}x^3 = \frac{1}{4}x^3 Es una identidad.

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