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Ecuaciones Diferenciales casi Exactas, por WikiMatematica.org
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Ecuaciones Diferenciales casi Exactas

De por WikiMatematica.org


http://youtu.be/I3M3aVCzftI

Ya que conocemos la forma de las Ecuaciones Diferenciales Exactas que poseen la forma :

                           M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0  

en las Ecuaciones diferenciales casi exactas se tiene la caracteristica que :

                                         \frac {\partial M} {\partial y}  \neq\frac {\partial N} {\partial x}

Para resolver este tipo de ecuación diferencial se dice que:


\lambda(x,y) M(x,y)dx + \lambda(x,y) N(x,y)dy = 0

Esto cumple la forma: \frac {\partial } {\partial y}[ \lambda(x,y)M(x,y)] = \frac {\partial } {\partial x}[ \lambda(x,y)n(x,y)]

 \lambda y  M(x,y) +  \lambda My =  \lambda y  N(x,y) +  \lambda Nx realizando la derivada parcial

Luego \lambda (x,y)= \lambda(y)

My = \frac{\partial M}{\partial y} y tambien Nx =\frac{\partial N}{\partial y}    y luego sustituimos y tenemos:

\lambda ' M +  \lambda My =  \lambda Nx 
      que es una EDO separable

  \lambda ' M =  \lambda Nx - \lambda My

  \frac{\lambda '}{\lambda}  =  \frac{(Nx -My)}{M}     || \int_{}dy

  \int_{}\frac{1}{ \lambda} dy =\int_{} \frac{(Nx -My)}{M} dy

  ln( \lambda) = \int_{}\frac{(Nx -My)}{M}dy   || e

    \lambda (y) = e^{\int_{}\frac{(Nx -My)}{M}dy}}  


luego se sustituye en :   \lambda(x,y) M(x,y)dx + \lambda(x,y) N(x,y)dy = 0


Ejemplo

  1. (x+y^2)dx-2xydy=0

Solucion

1.M=x+y^2

N=-2xy

My=\frac{\partial M}{\partial y}=2y

Nx=\frac{\partial n}{\partial x}=-2y

Debido a que las derivadas parciales no son iguales no es una ecuacion exacta.

Entonces:

\frac{My-Nx}{N}

=\frac{2y+2y}{-2xy}

=\frac{4y}{-2xy}

=-\frac{4}{2x}

=-\frac{2}{x}

Ahora utilizamos el factor integrante:

\lambda=exp\int_{-\frac{2}{x}dx

=exp(-2lnx)

=x^-2

=\frac{1}{x^2}

Ahora multiplicamos\lambda por la ecuacion original.

Y tenemos:

\frac{x+y^2}{x^2}dx-\frac{2xy}{x^2}dy=0

(\frac{1}{x}+\frac{y^2}{x^2})dx-\frac{2y}{x}=0

Ahora esta es una ecuacion exacta.

Entonces:

M=\frac{1}{x}+\frac{y^2}{x^2}

N=-\frac{2y}{x}

\frac{\partial f}{\partial x}=M

\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{x}+\frac{y^2}{x^2}||\int_{dx}

f=lnx-\frac{y^2}{x}+c(y)

\frac{\partial f}{\partial y}=N

-\frac{2y}{x}+c'(y)=-\frac{2y}{x}

c'(y)=0

c(y)=k

Por lo tanto la solucion es:

lnx-\frac{y^2}{x}+k=b
lnx-\frac{y^2}{x}=a

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