.

Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables (Ecuaciones Diferenciales Separables)

De por WikiMatematica.org


http://youtu.be/1kXxuDuoS1Q

Una EDO de primer orden es de variables separables, si mediante operaciones algebraicas puede escribirse de la siguiente forma.  (y)y'=f(x)


Algoritmo de solución:

1) Identificar la EDO como separable.
2) g(y)y'=f(x) Operamos de ambos lados  \int ... dx

    \int g(y)y'dy= \int f(x) dx 
 \int g(y)dy= \int f(x) dx

3)  G(y)=F(x)+ c


Contenido

Ejemplo # 1

  • Resolver:

 (1+x)y'-y =0


 (1+x)y'= y


 \frac {y'}{y}= \frac {1}{1+x}


 \frac {1}{y}*y'= \frac {1}{1+x} Operamos de ambos lados  \int ... dx


\int\frac {1}{y}dy = \int\frac {1}{1+x} dx


 In(y)=In(1+x)+ c Operamos ambos lados con  e^{In(1+x)}*e^{c}


 y =(1+x)+ c
solución general


Ejemplo # 2

Resolver:

  •   Cos(y)Sen(t)*\frac {dy}{dt} = Sen(y)Cos(t)
Solución: 

Buscamos la forma ø(y)y'= ÿ(x)


 \frac {Cos(y)}{Sen(y)}* \frac {dy}{dt} = \frac {Cos(t)}{Sen(t)}  => Cot(y)* \frac {dy}{dt} = Cot(t)

donde es Ec. separable.

 \int\frac {Cos(y)}{Sen(y)}dy = \int\frac {Cos(t)}{Sen(t)}dt

por Sustitución:
  u= Sen(y)
 du= Cos(y)dy

\int\frac {du}{u} = \int\frac {du}{u} => ln(u) + C = ln(u) + C

 ln (Sen(y)) = ln (Sen(t)) + K , Operamos e^() en ambos lados de la ecuación.


Obteniendo:
 Sen(y) = e^{c}*Sen(t) => y = Sen^{-1}(e^{c}*Sen(t))...


Ejemplo # 3


Resolver:

  •   ydy + (1 + y^{2})Sen(t)dt = 0; y(0) = 1, t=0, y=1
Solución: 

Buscamos la forma ø(y)y'= ÿ(x)


 ydy = -(1 + y^{2})Sen(t)dt

 - \frac {ydy}{(1 + y^{2})} = Sen(t)dt

 - \int\frac {ydy}{(1+y^{2})} = \int Sen(t)dt

por Sustitución:
  u= 1+y^{2}
 du= 2ydy => \frac {1}{2}du=ydy

 -\frac {1}{2}\int\frac {du}{u} = -Cos(t) + C


 -\frac {1}{2}ln (1+y^{2}) + c = -Cos(t) + C , Se valúan los valores iniciales que se nos da en el ejercicio, para "Y" el intervalo es de [1,y] y para "T" es de [0,t].


 \frac{1}{2}ln(1 +y^{2})-\frac{1}{2}ln(2) = Cos(t) - 1

, Se despeja, multiplicando por e^ ambos lados de la igualdad de la ecuación para poder encontrar "Y".

 e^{\frac{1}{2}ln(1 +y^{2})-\frac{1}{2}ln(2)} = e^{Cos(t) - 1} , Por Ley de Exponencial queda...



 \frac {[e^{ln(1 + y^{2})}]^{\frac{1}{2}}}{[e^{ln(2)}]^{\frac{1}{2}}}=e^{Cos(t) - 1} => {\sqrt{ \frac {(1 + y^{2})}{2} } } = e^{Cost(t)-1}

{\sqrt {1 + y^{2}}}={\sqrt {2}}e^{Cos(t)-1} // *()^{2}

 1 + y^{2} = 2[e^{Cos(t)-1}]^{2} => y^{2} = 2e^{2Cost(t)-2}-1


 y = \frac {+}{}{\sqrt {2e^{2Cos(t)-2}-1}} , Como el valor inicial que se indica es y=1, la raiz debe de ser positiva (+).

Obteniendo:

 y = + {\sqrt {2e^{2Cos(t)-2}-1}}

Busca mas temas

Loading


Anuncios