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Ecuaciones Homogeneas, por WikiMatematica.org
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Ecuaciones Homogeneas

De por WikiMatematica.org


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Sean  y_{1}, y{2}, ...., y{k} soluciones de la ecuación diferencial homogénea de orden n, donde x esta en un intervalo I. La combinación lineal

Y = C_{1}Y{1}(x) + C_{2}Y_{2}(x) + ... + C_{k}Y_{k}(x)

en donde las contantes C_{i}. i = 1, 2, ..., k son constantes arbitrarias, tambien es una solución cuando x esta en el intervalo.

Probaremos el caso k = 2. Sea L el operador diferencial definido anteriormente y sean y_{1}(x) y y_{2} soluciones de la ecuación homogénea L(y) = 0 Si definimos y = c_{1}y_{1}(x) + c_{2}y{2}(x), entonces, por la linealidad de L

L(y) = L{C_{1}y{1}(x) + c_{2}y_{2}(x)} = c_{1}L(y_{1}) + c_{2}L(y_{2}) = c_{1}*0 + c_{2}*0 = 0

Contenido

Ejemplo #1

Las funciones y_{1} = x^{2} y y_{1} = x^{2} en x son soluciones de la ecuación lineal homogénea x^{3}y''' - 2xy' + 4y = 0 para x en el intervalo (0,∞). Según el principio de superposición, la combinación lineal
y = c_{1}x^{2} - c_{2}x^{2}ln(x)

también es una solución de la ecuación en el intervalo.


La función y = e^{7x} es una solución de y'' - 9y' + 14y = 0 . Como la ecuación diferencial es lineal y homogénea, el múltiplo constante y = ce^{7x} también es una solución. Cuando c tiene diversos valores, y = 9e^{7x}, y = 0, y = -6e^{7x}, . . . son soluciones de la ecuación.

Operadores Diferenciales

la diferenciacion se denota con la letra D mayuscula, es decir \frac{dy}{dx}=Dy el simbolo D se llama operador diferencial por que transforma una funcion diferenciable en otra funcion. Por ejemplo D(cos4x)=-4sen4x y D(5x^{3}-6x^{2})=15x^{2}-12x.Las derivadas de orden superior se expresan en terminos de D de manera natural:

\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx})=\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=D(Dy)=D^{2}y y en general \frac{d^{n}y}{dx^{n}}=D^{n}y
donde y representa una funcion suficientemente diferenciable. Las expresiones polinomiales en las que interviene D, como D+3,D^{2}+3D-4 y 5x^{3}D^{3}-6x^{2}D^{2}+4xD+9, son tambien operadores diferenciables. En general, se define un operador diferencial de n-esimo orden u operador polinomial como:

L=a_{n}(x)D^{n}+a_{n-1}(x)D^{n-1}+........+a_{1}(x)D+a_{0}(x)

como una consecuencia de dos propiedadades basicas de la diferenciacion D(cf(x))=cDf(x), c es una constante, y D{f(x)+g(x)}=Df(x)+Dg(x), el operador diferencial L posee una proiedad lineal; es decir, L operando en una combinacion lineal de L operando en cada una de las funciones. En simbolos esto significa que

L={\alpha f(x)+\beta g(x)}=\alpha L(f(x))+\beta L(g(x))

donde \alpha y \beta son constantes.

Ecuaciones Diferenciales

Toda ecuación diferencial lineal se puede expresar en notación D; por ejemplo la ecuación diferencial y'' +5y'+6y=5x-3 se puede escribir de la forma D^{2}y +5Dy+6y=5x-3 o como(D^{2} + 5D + 6)y = 5x - 3

Principio de Superposición, Ecuaciones Homogéneas

Sean y_{1},y_{2},.....,y_{k} soluciones de la ecuación diferencial homogénea de orden n, donde x esta en un intervalo I. La combinación lineal

Y = c_{1}y_{1}(x) + c_{2}y_{2}(x) + .... + c_{k}y_{k}(x),

en donde las c_{i} i = 1,2,...,k son constantes arbitrarias, tambien es una solución cuando x esta en el intervalo.

Ejemplo

Superposicion, Ecuacion Diferencial Homogenea

Las funciones y_{1} = x^{2} y y_{2} = x^{2}ln x son soluciones de la ecuación lineal homogénea x^{3}y''' - 2xy’ + 4y = 0 para x en el intervalo (0, ∞). Según el principio de superposición, la combinación lineal

y = c_{1}x^{2} + c_{2}x^{2} ln x

también es una solución de la ecuación en el intervalo.


La función y = e^{7x} es una solución de y'' - 9y' + 14y = 0. Como la ecuación diferencial es lineal y homogénea, el múltiplo constante y = ce^{7x} también es una solución. Cuando c tiene diversos valores, y = ce^{7x}, y = 0, -\sqrt{5}e^{7x}, . . . son soluciones de la ecuación.

Dependencia e Independencia Lineal

Se dice que un conjunto de funciones, f_{1}(x),f_{2}, ..., fn(x) es linealmente dependiente en un intervalo I si existen constantes c_{1}, c_{2}, ..., c_{n} no todas cero, tales que

c_{1}f_{1}(x) + c_{2}f_{2}(x) + ... +c_{n}f_{n}(x) = 0

para toda x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente.


En otras palabras, un conjunto de funciones es linealmente independiente en un intervalo si las únicas constantes para las que se cumple
c_{1}f_{1}(x) + c_{2}f_{2}(x) + ... +c_{n}f_{n}(x) = 0
para toda x en el intevalo son c_{1} = c_{2} = ... = c_{n} = 0


Es fácil comprender estas definiciones en el caso de dos funciones, f_{1}(x) y f_{2}(x). Si las funciones son linealmente dependientes en un intervalo, existen constantes, c_{1} y c_{2}, que no son cero a la vez, tales que, para toda x en el intervalo, c_{1}f_{1}(x) + c_{2}f_{2}(x) = 0; por consiguiente, si suponemos que c_{1} ≠ 0, entonces

f_{1}(x) = -\frac{c_{2}}{c_{1}}f_{2}(x);

esto es, si dos funciones son linealmente dependientes, entonces una es un múltiplo constante de la otra. Al revés, si f_{1}(x) = c_{2}f_{2}(x) para alguna constante c_{2}, entonces

(-1)f_{1}(x) + c_{2}f_{2}(x) = 0

para toda x en algún intervalo. Así, las funciones son linealmente dependientes porque al menos una de las constantes no es cero (en este caso C_{1} = -1). Llegamos a la conclusión de que dos funciones son linealmente independientes cuando ninguna es múltiplo constante de la otra en un intervalo. Por ejemplo, las funciones f_{1}(x) = sen 2x y f_{2} = sen x cos x son linealmente dependientes en (-∞, ∞) porque f_{1}(x) es múltiplo constante de f_{2}(x). Con base en la fórmula de doble ángulo para el seno, recuérdese que sen2x = 2 sen x cos x. Por otro lado, las funciones f_{1}(x) = x y f_{2}(x) = |x| son linealmente independientes en (-∞, ∞).

Ejemplo

Sean x_{1} = e^{-4t} ,x_{2} = e^{-2t}, demostrar que son linealmente independientes.

Para demostrar que son linealmente independientes utilizamos el metodo de Reducción al absurdo. Decimos x_{1} = e^{-4t} ,x_{2} = e^{-2t} , no son linealmente independientes.

1. x_{1} = \alpha x_{2}
2. x_{1}^{'} = \alpha x_{2}^{'}

Sustituir t = 0

1. e^{-4.(0)} = \alpha e^{-2.(0)}
   \alpha= 1
2. -4e^{-4.(0)} = \alpha -2e^{-2.(0)}
   -4 = -2\alpha
   \alpha= 2     por lo tanto son linealmente independientes.

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