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Ecuaciones Logísticas

De por WikiMatematica.org

Suponga que un entorno es capaz de mantener no mas de un numero fijo K de individuos en su poblacion.

La cantidad K se llama Capacidad de soporte del ambiente. Por consiguiente, para la funcino f en (2) se tiene un

f(K) = 0, y simplemente se permite que f(0) = r

La suposicion mas simple que se puede hacer es que f(P) es lineal, es decir:

f(P) = PC_1 + C_2.

Si se usan las condiciones f(0) = r y f(K) = 0,

se encuentra, a su vez: C_2 = r y C_1 = -r/K

por consecuencia, f toma la forma:

f(P) = r-(r/K)P.

Y la ecuacion se tranforma en:

dP/dt = P(r - rP/K)

Con otros simbolos para las constantes, la ecuacion no lineal es lo mismo que

dP/dt = P(a - bP)

Ejemplo # 1

Suponga que un estudiante portador del virus de la gripe vuelve a un campus universitario aislado de 100 estudiantes. Si se supone que la rapidez a la que se disemina el virus es proporcional no solo al numero x de estudiantes infectados sino tambien al numero de estudiantes sanos, determine la cantidad de estudiantes infectados depues de seis dias si ademas se observa que a los cuatro dias x(4)=50

SOLUCION: Suponiendo que nadie abandona el campus el tiempo que dura la enfermedad, se debe resolver el problema de valor inicial \frac{dx}{dt} = kx(1000 - x), x(0) = 1


Al identificar a= 1000k y b=k, se obtiene de inmediato de la ecuacion que


x(t) = \frac{1000k}{k + 999ke^{-1000kt}} = \frac{1000k}{1 + 999e^{-1000kt}}


Ahora, con la informacion x(4) = 50, k se determina de


50 = \frac{1000}{1 + 999e^{-4000k}}


Se encuentra que -1000k = 1/4 ln 19/999 = -0.9906. asi


x(t) = \frac{1000}{1 + 999e^{-0.9906t}}


por ultimo:


x(6) = \frac{1000}{1 + 999e^{-5.9436}} = 276 estudiantes

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