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Ecuaciones Parametricas

De por WikiMatematica.org


http://youtu.be/ipFawEkv6GI

Contenido

Definición de curva plana:

Si f y g son funciones continuas de t en un intervalo I las ecuaciones: x(t)=f(t) e y(t)=g(t) se denominan Ecuaciones paramétricas y t se llama parámetro. El par formado por las ecuaciones paramétricas y su gráfica recibe el nombre de curva plana, que esta denominada por c.

Links

  • [1] Pagina de las trocoides.



Ejemplo #1

Graficar la curva descrita por las ecuaciones paramétricas

  • x(t)= t^{2}-4
  • y(t)= \frac{t}{2}


txy
-20-1
131/2
0-40
1-31/2
201
351.5

Para.jpg

Parametrica.PNG


==Ejemplo #2== Graficar la curva descrita por las ecuaciones paramétricas

  • x(t)= 4cos(t)
  • y(t)= 5sen(t)

 -\pi/2 \leq t \leq \pi/2

txy
-\pi/20-5
-\pi/42.82-3.53
040
-\pi/22.823.53
\pi/205

Circulo2.jpg
P1050070.gif

--Antonio Moran 16:22 27 ene 2010 (CST)tonymoran Seccion B MateIII






Parametrización de una circunferencia

Archivo:Circulo Tenemos la circunferencia dada por la ecuación x^{2}+y^{2}=R^{2}

Entonces segun la grafica podemos deducir fácilmente que:

I)  cos(\theta)=\xi/R \Rightarrow \xi=Rcos(\theta)

II) sen(\theta)=\eta/R \Rightarrow \eta=Rsen(\theta)

De esta forma podemos decir que:

x(t)=Rcos(t)

y(t)=Rsen(t)

y a estas dos ecuaciones les llamamos paramétricas de la circunferencia.

Desparametrización

Partiendo de las paramétricas:

x(t)=Rcos(t)

y(t)=Rsen(t)

Paso 1: dividimos R en ambas ecuaciones:

x/R=cos(t)

y/R=sen(t)

Paso 2: Elevamos ambas ecuaciones al cuadrado

\left (x^{2}/R^{2} \right )=cos^{2}(t)

\left (y^{2}/R^{2} \right )=sen^{2}(t)

Paso 3: Sumamos las ecuaciones entre ellas

\left (x^{2}/R^{2} \right )+\left (y^{2}/R^{2} \right )=cos^{2}(t)+sen^{2}(t)

Paso 4: Por la identidad cos^{2}(\theta)+sen^{2}(\theta)=1

\left (x^{2}/R^{2} \right )+\left (y^{2}/R^{2} \right )=1

\therefore  x^{2}+y^{2}=R^{2}

DiegoTello (II) 08003368 11:18 31 ene 2010 (CST)


Para un circulo de radio R con centro en (h,k)



x(\theta)=h+Rcos(\theta)
y(\theta)=k+Rsen(\theta)

Mauro 21:19 16 feb 2010 (CST)

Parametrización de una Elipse

x=a cos(\theta)
y=b sen(\theta)
Mauro 21:19 16 feb 2010 (CST)

Desparametrización

1) Despejamos para tener las funciones trigonométricas

x/a=cos(\theta)
y/b=sen(\theta)

2) Elevamos ambas ecuaciones al cuadrado

(x/a=cos(\theta))^2
(y/b=sen(\theta))^2

3) Las sumamos

x^2/a^2+y^2/b^2=cos^2(\theta)+sen^2(\theta)

4) Sustituimos la identidad trigonométrica y obtenemos el resultado
x^2/a^2+y^2/b^2=1

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