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Ecuaciones de rectas y planos

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Contenido

Ecuaciones de Recta

Recordemos que la derivada representa el valor de la recta tangente, el cual posee una dimensión y contienen varios puntos hasta el infinito.Cuando trabajamos en 3D(3 dimensiones) las ecuaciones de recta son las siguientes:

Ecuación Vectorial

\vec{r}=\vec{r_{0}}+t\vec{v} = <x_{0},y_{0},z_{0}> + t<a,b,c>

donde:

\vec{r_{0}}=<x_{0},y_{0},z_{0}>

Y \vec{v} es cualquier vector.

Ecuación Paramétrica

Sea:

\vec{r} = <x,y,z>

Y queremos hallar la recta \vec{r} nos queda que:

\vec{r} = <x,y,z> = <x_{0},y_{0},z_{0}> + t<a,b,c>

Nos queda una igualdad de vectores(ternas), y sabemos que para que sean iguales cada componente debe de ser igual, por lo tanto al igualar los componentes nos quedan las ecuaciones paramétricas de la recta en 3 dimensiones.

x(t)=x_{0}+at

y(t)=y_{0}+bt

z(t)=z_{0}+ct

Ecuación Simétrica

Despejando t de las ecuaciones Paramétricas, podemos igualar todas las ecuaciones resultantes obteniendo así las Ecuaciones Simétricas.

\frac{x-x_{0}}{a}=\frac{y-y_{0}}{b}=\frac{z-z_{0}}{c}

Ejemplo #1

Ejemplos para trabajar con ecuaciones de recta:

Ejemplo #1

a) Calcule una ecuación vectorial en ecuaciones paramétricas para la recta que pasa por el punto

P(5,1,3)


Y paralela al vector

\vec{v}=\hat{i}+4\hat{j}-2\hat{k}

b) Encuentre otros dos puntos sobre la recta.

c) Calcule una ecuacion simetrica con los datos del inciso A

Resolución

a) Usamos la ecuación vectorial de la recta:

\vec{r}=<5,1,3>+t<1,4,-2>


y al parametrizar nos queda de esta manera:

x=5+t

y=1+4t

z=3-2t


b) Para este ejercicio escogemos valores de t arbitrarios usando las ecuaciones paramétricas anteriores:


x(1)=6

y(1)=5

z(1)=1

Q(6,5,1)


x(-1)=4

y(-1)=-3

z(-1)=5

R(4,-3,5)

c) Para este ejercicio usamos la ecuacion simetrica:


\frac{x-x_{0}}{a}=\frac{y-y_{0}}{b}=\frac{z-z_{0}}{c}


donde usamos el punto P(5,1,3):


x_{0}=5

y_{0}=1

z_{0}=3


y el vector de direccion \vec{v}=\hat{i}+4\hat{j}-2\hat{j}:


a=1

b=4

c=-2


Y la ecuacion nos queda de esta manera:


x-5=\frac{y-1}{4}=\frac{z-3}{-2}

Ejemplo #2

a) Encuentre las ecuaciones simétricas y paramétricas de las rectas que pasan por los puntos:

A(2,4,-3)

B(3,-1,1)

b) En qué punto intersecta la recta al plano xy.


Resolución

a) Formamos un vector con los puntos dados:


\vec{V}=\vec{AB}=<3-2,-1-4,1-(-3)> da como resultado

\vec{V}=<1,-5,4>

\vec{r_{0}}=<2,4,-3>


Entonces para parametricas tenemos:

x(t)=2+t

y(t)=4-5t

z(t)=-3+4t


Para simetricas tenemos:

x-2=\frac{y-4}{-5}=\frac{z+3}{4}


b)

Basándonos en nuestras ecuaciones simétricas sabemos que z es cero, entonces:


x-2=\frac{3}{4}

x=\frac{3}{4}+2

x=\frac{11}{4}


\frac{y-4}{-5}=\frac{3}{4}

y=\frac{-15}{4}+4

y=\frac{1}{4}


(\frac{11}{4},\frac{1}{4},0)

Ejemplo #3

Encuentre las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que pasa por el punto P=\vec{0} y vector de direccion \vec{v}= <1,2,3>.

Ec. paramétricas

x(t)=x_{0}+\vec{i}t ----------> x(t)=t.
y(t)=y_{0}+\vec{j}t ----------> y(t)=2t.
z(t)=z_{0}+\vec{k}t ----------> z(t)=3t.

Ec. simétricas

\frac{x-x_{0}}{\vec{i}}=\frac{y-y_{0}}{\vec{j}}=\frac{z-z_{0}}{\vec{k}}.
\frac{x-0}{1}=\frac{y-0}{2}=\frac{z-0}{3}.

x=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}.
--Dieguito 23:33 30 abr 2010 (CST)

Ejemplo #4

Encuentre las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que pasa por el punto P=\vec{0} y vector de direccion \vec{v}= <-2,\frac{5}{2},1>.

Ec. paramétricas

x(t)=x_{0}+\vec{i}t ----------> x(t)=-2t.
y(t)=y_{0}+\vec{j}t ----------> y(t)=\frac{5}{2}t.
z(t)=z_{0}+\vec{k}t ----------> z(t)=t.

Ec. simétricas

\frac{x-x_{0}}{\vec{i}}=\frac{y-y_{0}}{\vec{j}}=\frac{z-z_{0}}{\vec{k}}.
\frac{x-0}{-2}=\frac{y-0}{\frac{5}{2}}=\frac{z-0}{1}.

-(\frac{x}{2})=\frac{2y}{5}=z.
--Dieguito 23:33 30 abr 2010 (CST)

Ejemplo #5

Encuentre las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que pasa por el punto P=(-2,0,3) y vector de direccion \vec{v}= 2\vec{i}+4\vec{j}-2\vec{k}.
\vec{v}= <2,4,-2>.

Ec. paramétricas

x(t)=x_{0}+\vec{i}t ----------> x(t)=-2+2t.
y(t)=y_{0}+\vec{j}t ----------> y(t)=4t.
z(t)=z_{0}+\vec{k}t ----------> z(t)=3-2t.

Ec. simétricas

\frac{x-x_{0}}{\vec{i}}=\frac{y-y_{0}}{\vec{j}}=\frac{z-z_{0}}{\vec{k}}.
\frac{x-(-2)}{2}=\frac{y-0}{4}=\frac{z-3}{-2}.

\frac{x+2}{2}=\frac{y}{4}=-(\frac{z-3}{2}).
--Dieguito 23:56 30 abr 2010 (CST)

Ecuación del Plano

Ecuación Rectangular del Plano

<x-x_{0},y-y_{0},z-z_{0}>\cdot <a,b,c>=0

a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0

Ecuación Lineal del Plano

ax+by+cz=ax_0+by_0+cz_0

ax+by+cz=d

Ejemplos

Aqui hay unos ejemplos de como trabajar con los planos y sus respectivas ecuaciones:

Ejemplo #1

Encuentre la ecuación del plano que pasa por el punto P(2,4,-1) con vector normal \vec{n}=<2,3,4>

Para resolver este ejercicio utilizamos la ecuación rectangular del plano.

2(x-2)+3(y-4)+4(z+1)=0

Plano.jpg

luego operamos y este es la ecuación que resuelve el ejercicio: 2x+3y+4z=12

Ejemplo #2

Encuentre la ecuación del plano que pasa por los puntos

P(1,3,2) Q(3,-1,6) R(5,2,0)


Con los puntos que nos dan formamos las siguientes rectas:

\vec{PQ}=<3-1,-1-3,6-2>=<2,-4,4>

\vec{PR}=<5-1,2-3,0-2>=<4,-1,-2>


Hacemos producto cruz de los vectores y obtenemos el vector normal:

\vec{n}=<12,20,14>


Con este vector normal y el punto P usamos la ecuación rectangular del plano:

12(x-1)+20(y-3)+14(z-2)=0


luego de operar nos queda la ecuación del plano: 6x+10y+7z=50

Plano 2.png

Ejemplo #3

Encuentre la ecuación del plano que pasa por el punto

P(2,4,-1) y vector normal ñ(2,3,4), determine las intersecciones y grafique

Usamos la ecuación rectangular para resolver este problema:

utilizando la ecuación anterior obtenemos: 2(x-2)+3(y-4)+4(z+1)=0

después de Operar nos queda:

 2x+3y+4z=0

Eje.png


Ejemplo #4

Encuentre el punto P, del plano con rectas paramétricas:

x=2+3t

y=-4t

z=5+t

Y ecuación 4x+5y+2z=0


Usamos la ecuación rectangular del plano:

4(2+3t)+5(-4t)-2(5+t)=0


y al operar nos queda que t=-2

sustituimos t en las rectas paramétricas y nos queda el valor para x,y,z del punto:

x(-2)=-4

x(-2)=8

x(-2)=3

Y el punto P(-4,8,3)

Ejemplo #5

Averigue si los planos son paralelos o perpendiculares, si son perpendiculares averigue el angulo entre ellos.

I) 5x-3y+z=4

II)x+4y+7z=1

Primero identificamos el vector normal de ambos planos:

\vec{n1}=<5,-3,1>

\vec{n2}=<1,4,7>

Ahora para averiguar si son perpendiculares o paralelos realizamos el producto punto y producto cruz:

\vec{n1}\cdot\vec{n2}= 5*1+(-3)*4+7*1

\vec{n1}\cdot\vec{n2}=0

\therefore Los planos son perpendiculares y \Theta = 90 = \pi/2

Plano 4.png

Ejemplo #6

Encuentre la ecuación del plano que pasa por P = (2,1,2).
y vector ortogonal al plano.

(2,1,2),n=\hat{i}.
\vec{n}=<1,0,0>.

Recordemos que:

(x_{1}-x_{0},y_{1}-y_{0},z_{1}-z_{0})=<a,b,c>.

La ec. seria a(x_{1}-x_{0})+b(y_{1}-y_{0})+c(z_{1}-z_{0})=0.

Entonces encontramos la ecuación del plano

(x_{1}-2,y_{1}-1,z_{1}-2)=<1,0,0>.

1(x_{1}-2)+0(y_{1}-1)+0(z_{1}-2)=0.

x-2=0.

x=2.

Plano 5.png

Ejemplo #7

Encuentre la ecuación del plano que pasa por P = (1,0,-3).
y vector ortogonal al plano.

(1,0,-3),n=\hat{k}.
\vec{n}=<0,0,1>.

Recordemos que:

(x_{1}-x_{0},y_{1}-y_{0},z_{1}-z_{0})=<a,b,c>.

La ec. seria a(x_{1}-x_{0})+b(y_{1}-y_{0})+c(z_{1}-z_{0})=0.

Entonces encontramos la ecuación del plano

(x_{1}-1,y_{1}-0,z_{1}+3)=<0,0,1>.

0(x_{1}-1)+0(y_{1}-0)+1(z_{1}-(-3))=0.

z+3=0.

z=-3.
--Dieguito 23:05 30 abr 2010 (CST)

Ejemplo #8

Encuentre la ecuación del plano que pasa por P = (3,2,2).
y vector ortogonal al plano.

(3,2,2),n=2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}.
\vec{n}=<2,3,-1>.

Recordemos que:

(x_{1}-x_{0},y_{1}-y_{0},z_{1}-z_{0})=<a,b,c>.

La ec. seria a(x_{1}-x_{0})+b(y_{1}-y_{0})+c(z_{1}-z_{0})=0.

Entonces encontramos la ecuación del plano

(x_{1}-3,y_{1}-2,z_{1}-2)=<2,3,-1>.

2(x_{1}-3)+3(y_{1}-2)+(-1)(z_{1}-2)=0.

2x-6+3y-6-z+2=0.

2x+3y-z=10.

Plano 7.png

--Dieguito 23:05 30 abr 2010 (CST)

Ejemplo #9

Encuentre la ecuación del plano que pasa por P = (0,0,6).
y vector ortogonal al plano.

(0,0,6),x=1-t, y=2+t, z=4-2t.
\vec{n}=<-1,1,-2>.

Recordemos que:

(x_{1}-x_{0},y_{1}-y_{0},z_{1}-z_{0})=<a,b,c>.

La ec. seria a(x_{1}-x_{0})+b(y_{1}-y_{0})+c(z_{1}-z_{0})=0.

Entonces encontramos la ecuación del plano

(x_{1}-0,y_{1}-0,z_{1}-6)=<-1,1,-2>.

-1(x_{1}-0)+1(y_{1}-0)+(-2)(z_{1}-6)=0.

-x+0+y+0-2z+12=0.

-x+y-2z=-12.

Plano 8.png --Dieguito 23:05 30 abr 2010 (CST)

Ejemplo 10

Calcule una ecuacion vectorial y ecuaciones parametricas para la recta que pasa por P(5,1,3) y es paralela a V i+4j-2k
 \vec{ro}= <1,2,3>
 \vec{r} = (5,1,3 + t(1,4,-2)
Ecuacion vectorial:
 \vec{r} = (5+t,1+4t,3-2t)
Ecuacion Parametrica:
 X(t)= 5 + t
 Y(t)= 1 + 4t
 Z(t)= 3 - 2t
--Antonio Moran 09:56 15 may 2010 (CST)tonymoran

Ejemplo 11

Interseccion en el plano
 \vec{A} (2,4,-3)
 \vec{B} (3,-1,1)
 \vec{AB} (1,-5,1) = \vec{v}
Ecuaciones parametricas:
 X(t)= 2 + t
 Y(t)= 4 - 5t
 Z(t)= -3 + 4t
 x-2= \frac{4-y}{5}=\frac{z+3}{4}
--Antonio Moran 09:56 15 may 2010 (CST)tonymoran

Ejemplo 12

Determine si las rectas son paralelas oblicuas o se cruzan si se cruzan encontrar el punto de interseccion
 L1: \frac{x-4}{2}= \frac{y+5}{4}= \frac{z-1}{-3}
 L1: x-2 = \frac{y+1}{3}= \frac{z}{2}
 \vec{V1} = (2,4,-3)
 \vec{V2} = (1,3,2)
No son Paralelos
Oblicuo:  \frac{x-4}{2} = x-2
 \frac{y+5}{4} = \frac{y+5}{4}
 \frac{z-1}{-3} = \frac{z}{2}
L1:
 X(t)=4+2t
 Y(t)=-5+4t
 Z(t)=1-3t
L2:
 X(u)= 2+u
 Y(u)= -1+3u
 Z(u)= 2u
 4+2t=2+u
 4t-5=3u-1
 1-3t=2u
 \frac{1}{2} -\frac{3t}{2}
 4+2t=2+ \frac{1}{2} -\frac{3t}{2}
 2t +\frac{3t}{2}= \frac{-3}{2}
 \frac{7t}{2} = \frac{-3}{2}
 t= \frac{-3}{7}
 4t-5 = 3u-1
 \frac{-12}{7} -5 = \frac{24}{7} -1
 \frac{-47}{7} = \frac{17}{7}
No se cruzan por lo tanto son Oblicuas

Videos

http://www.youtube.com/watch?v=IXmCycsSGBw

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