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Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes

De por WikiMatematica.org


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Contenido

Definicion

Las ecuaciones lineales homogeneas a{y}'+ by = 0, donde las coeficientes a\neq 0 y b son constantes. Este tipo de ecuación se resuelve ya sea por separación de variables o con ayuda de un factor de integración, pero hay otro metodo de solución, uno en el que solo se utiliza algebra. Al observar bien podemos ver que al despejar {y}' de la ecuación a{y}'+by=0 se obtiene {y}'=ky, donde k es una constante. Ahora el nuevo metodo de una solución: si se sustituye y=e^{mx} y {y}'=me^{mx} en a{y}'+ by = 0 se obtiene ame^{mx}+be^{mx}=0 o bien e^{mx}(am+b)=0 como e^{mx} nunca es cero para valores reales de x, la última ecuación se satisface solo cuando m es una solución o raíz de la ecuacion polinomial de primer grado am+b=0 para este unico valor de m y=e^{mx} es una solucion de la ED. En esta seccion se vera que el procedimiento que se vio anteriormente genera soluciones exponenciales para ED lineales homogeneas de orden superior:

a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+..............+a_{2}y^{(n)}+a_{1}{y}'+a_{0}y=0 


donde los coeficientes

a_{i}, i=0,1.......,n son constantes reales y  a_{n}=0


ECUACION AUXILIAR
se empiea por considerar el caso especial de la ecuacion de segundo orden:

a{{y}'}'+b{y}'+cy=0


donde a,b y c son constantes. si se intenta encontrar una solucion de la forma e^{mx} entonces despues de sustituir {y}'=me^{mx} y {y}''=m^{2}e^{mx} por lo que al sustituir quedara:

am^{2}e^{mx}+bme^{mx}+ce^{mx}=0


como ya se habia definido que e^{mx}\neq 0 para toda x evidente entonces la unica forma es cuando se elige a m como una raiz de la ecuacion cuadratica

am^{2}+bm+c=0


esta ultima ecuacion se llama ecuacion auxiliar de la ecuacion auxiliar ya mencionada. Como las dos raices son m_{1}=\frac{(-b+\sqrt{b^{2}-4ac})}{2a} y m_{2}=\frac{(-b-\sqrt{b^{2}-4ac})}{2a} habra 3 formas de la solucion general que corresponde a: a.)m_{1} y m_{2} reales y distintas b^{2}-4ac > 0
b.)m_{1} y m_{2} reales e iguales b^{2}-4ac = 0
c.)m_{1} y m_{2} son numeros conjugados complejos b^{2}-4ac < 0
se analiza cada uno de estos pasos a su vez

CASO I "RAÍCES REALES Y DISTINTAS"

bajo la suposicion de que la ecuacion tienes dos raices desiguales m_{1} y m_{2}, se definen dos soluciones y_{1}=e^{m_{1}x}y y_{2}=e^{m_{2}x}. se ve que estas funciones son linealmente independientes en (-\infty,\infty  ) y por consiguiente forman un conjunto fundamental. Se deduce que la solucion general de la ED en este intervalo es :

y=c_{1}e^{m_{1}x}+c_{2}e^{m_{2}x}


CASO II "RAÍCES REALES REPETIDAS"

Cuando m_1 = m_2 , necesariamente se obtiene sólo una solución exponencial, y_1 = e^{m_1 x} .

De la fórmula cuadrática se encuentra que m_1  = \frac{-b}{2a} puesto que la única forma en que se tiene m_1 = m_2 es tener b^{2} - 4ac = 0 .

Una segunda solución de la ecuación es:

y_2 = e^{m_1 x} \int \frac{e^{2m_1 x}}{e^{2m_1 x}} dx = e^{m_1 x} \int dx = xe^{m_1 x}


CASO III "RAÍCES COMPLEJAS CONJUGADAS"

Si m_1 y m_2 son compleja entonces se puede escribir m_1 = \alpha + i\beta y m_2 = \alpha -  i\beta donde \alpha , \beta > 0 son reales.

De manera formal, no hay diferencia entre este caso y el caso I y, por con siguiente:

y = C_1 e^{(\alpha + i\beta)x}  +  C_2 e^{(\alpha - i\beta)x}

Sin embargo, en la práctica se prefiere trabajar con funciones reales en lugar de exponenciales complejas. Para este fin se usa la fórmula de Euler:

 e^{i\theta} = cos\theta + isin\theta 

donde  \theta es cualquier número real. Se deduce de esta fórmula que

e^{i\beta x} = cos \beta x  + isin\beta x            
e^{i-\beta x} = cos \beta x  - isin\beta x

donde se utilizó

cos(-\beta x) = cos \beta x     
sin(-\beta x) = -sin\beta x

Observe que si primero se suma y luego se restan las dos ecuaciones en se obtiene, respectivamente:

e^{i\beta x} +e^{i-\beta x} = 2cos \beta x        
e^{i-\beta x} - e^{i-\beta x}  = 2isin\beta x

Como y = C_1 e^{(\alpha + i\beta)x}  +  C_2 e^{(\alpha - i\beta)x} es una solución para alguna elección de las constantes C_1 y C_2, las elecciones C_1 = C_2 = 1 y C_1 = 1,  C_2 =  -1 dan, a su vez, dos soluciones:

y_1 =  e^{(\alpha + i\beta)x}  +   e^{(\alpha - i\beta)x}
y_2 = e^{(\alpha + i\beta)x}  - e^{(\alpha - i\beta)x}

pero

y_1 = e^{\alpha x}( e^{-i\beta x}  + e^{-i\beta x}) = 2e^{\alpha x}cos\beta x

y

y_2 = e^{\alpha x}( e^{-i\beta x}  - e^{-i\beta x}) = 2ie^{\alpha x}sin\beta x


Por consiguiente la solucion general es:

y = C_1 e^{\alpha x}cos\beta x  +   C_2 e^{\alpha x}sin\beta x = e^{(alpha x}(C_1 cos\beta x  +   C_2 sin\beta x)


Ejemplo 1

2y" - 5y' - 3y = 0


SOLUCION Se dan las ecuaciones auxiliares, las raíces y las soluciones generales correspondientes.

2m^{2} - 5m - 3 = (2m + 1)(m - 3) = 0 , m_1 = -\frac{1}{2}, m_2 = 3

entonces,

y = C_1 e^{-x/2} + C_2 e^{3x}

Ejemplo 2

y" - 10y' + 25y = 0


SOLUCION Se dan las ecuaciones auxiliares, las raíces y las soluciones generales correspondientes.

m^{2} - 10m + 25= (m - 5)^{2} = 0 , m_1 =  m_2 = 5

entonces,

y = C_1 e^{5x} + C_2 xe^{5x}

Ejemplo 3

y" + 4y' + 7v = 0


SOLUCION Se dan las ecuaciones auxiliares, las raíces y las soluciones generales correspondientes.

m^{2} + 4m + 7 = 0 , m_1 = -2  + \sqrt{3}i, m_2 = -2  - \sqrt{3}i

 \alpha = -2 , \beta = \sqrt{3}

entonces,

y = e^{-2x}(C_1 cos\sqrt{3}x  + C_2sin\sqrt{3}x )

Ejemplo 4

y"' + 3y'' + 4y = 0


Solución debe ser evidente de la inspeccion de m^{3}+3m^{2}-4=0 que una raiz sea m_{1}=1 y, por consecuencia, m=-1 es un factor de m^{3}+3m^{2}-4 por division se encuentra que:

m^{3}+3m^{2}-4=(m-1)(m^{2}+4m+4=(m-1)(m+2)^{2} y entonces las raices son m_{2}=m_{3}=-2. Asi la solucion general es

y=c_{1}e^{x}+c_{2}e^{-2x}+c_{3}e^{-2x}

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