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Ecuaciones no Homogeneas

De por WikiMatematica.org

Toda función y_{p} libre de parámetros arbitrarios que satisface que es una ecuacion homogenea se llama solución particular o integral particular de la ecuación; por ejemplo, se puede demostrar directamenteque la función constante y_{p} = 3 es una solución particular de la ecuación no homogénea y'' + 9y = 27. Siy_{1},y_{2},.....,y_{k} son soluciones de la ecuación en un intervalo Zy y, es cualquier soluciónparticular de la ecuación homogénea en Z, entonces, la combinación lineal

Y = c_{1}y_{1}(x) + c_{2}y_{2}(x) + .... + c_{k}y_{k}(x) + Y_{p}


también es una solución de la ecuación no homogénea. si se piensa al respecto esto no tiene sentido por que la combinacion lineal Y = c_{1}y_{1}(x) + c_{2}y_{2}(x) + .... + c_{k}y_{k}(x),se transforma en 0 mediante el operador L=a_{n}D^{n}+a_{n-1}D^{n-1}+......+a_{1}D+a_{0} mientras que Y_{p} se transforma en g(x). Si se usa k=n soluciones linealmente independientes de la ecuacion de n-esimo orden:
a_{n}(x)\frac{d^{n}y}{dx^{n}}+a_{n-1}(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+........+a_{1}(x)\frac{dy}{dx}+a_{0}(x)y=0
entonces
Y = c_{1}y_{1}(x) + c_{2}y_{2}(x) + .... + c_{k}y_{k}(x) + Y_{p}
se volvera solucion general de:
a_{n}(x)\frac{d^{n}y}{dx^{n}}+a_{n-1}(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+........+a_{1}(x)\frac{dy}{dx}+a_{0}(x)y=g(x)

Solucion general, ecuaciones no homogeneas


Sea Y_{p} cualquier solucion particular de la ecuacion diferencial lineal no homogenea de n-esimo orden
a_{n}(x)\frac{d^{n}y}{dx^{n}}+a_{n-1}(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+........+a_{1}(x)\frac{dy}{dx}+a_{0}(x)y=g(x)
en un intervalo I, y sea y_{1},y_{2},.....,y_{n} un conjunto fundamental de soluciones de la ecuacion diferencial homogenea relacionada:
a_{n}(x)\frac{d^{n}y}{dx^{n}}+a_{n-1}(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+........+a_{1}(x)\frac{dy}{dx}+a_{0}(x)y=0
en I entonces la solucion general de la ecuacion en el intervalo es:
Y = c_{1}y_{1}(x) + c_{2}y_{2}(x) + .... + c_{k}y_{k}(x) + Y_{p}
donde las c_{i},i=1,2,......,n son constantes arbitrarias.

DEMOSTRACION

Sea L el operador diferencial definido L=a_{n}D^{n}+a_{n-1}D^{n-1}+......+a_{1}D+a_{0} y sean Y(x) y y_{p}(x) soluciones particulares de la ecuacion no homogenea L(y)=g(x). Si se define u(x)=Y(x)-y_{p}(x), entonces por la linealidad de L se tiene:
L(u)= L(y(x)-y_{p}(x))=L(Y(x))-L(y_{p}(x))=g(x)-g(x)=0
esto demuestra que u(x) es una solucion de la ecuacion homogenea L(y)=0 por lo tanto por el teorema de las ecuaciones homogeneas u(x)=c_{1}y_{1}(x) + c_{2}y_{2}(x) + .... + c_{k}y_{k}(x) y entonces
Y(x)-y-{p}(x)=c_{1}y_{1}(x) + c_{2}y_{2}(x) + .... + c_{n}y_{n}(x)
y si despejamos para Y(x) se llegara al teorema.

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