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El producto cruz

De por WikiMatematica.org


El producto cruz es una operación vectorial para vectores en 3D en la que dos Vectores con el mismo punto de inicio forman un plano y mediante esta operación obtenemos un vector perpendicular a este plano; por lo tanto el vector resultante es ortogonal a cada uno de los vectores que forman el plano.

Contenido

Definición

Si \vec{a}=<a_{1},a_{2},a_{3}> y \vec{b}=<b_{1},b_{2},b_{3}> entonces el producto cruz de \vec{a} y \vec{b}es el vector \vec{a}\times\vec{b} donde

\vec{a}\times\vec{b}= \begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\a_{1} & a_{2} & a_{3}\\ b_{1} & b_{2} & b_{3}\end{vmatrix} = <\begin{vmatrix}a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 \end{vmatrix}, -\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_3 & b_3 \end{vmatrix},  \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}>
= (a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\hat{i}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\hat{j}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\hat{k}


También se define el producto cruz como:

\left | \vec{a}\times \vec{b} \right |= \left | \vec{a} \right |\cdot \left | \vec{b} \right |\cdot sin\theta


Demostración de la ortogonalidad del producto cruz

Debemos recordar que dos vectores son ortogonales si \vec{a}\cdot\vec{b}=0.

Demostramos primero para el vector \vec{a}

\vec{a} \cdot (\vec{a}\times\vec{b})=0
\vec{a} \cdot (\vec{a}\times\vec{b})=a_{1}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})+a_{2}(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})+a_{3}(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})
=a_{1}a_{2}b_{3}-a_{1}a_{3}b_{2}+a_{2}a_{3}b_{1}-a_{2}a_{1}b_{3}+a_{3}a_{1}b_{2}-a_{3}a_{2}b_{1}
=a_{1}a_{2}b_{3}-a_{1}a_{3}b_{2}+a_{2}a_{3}b_{1}-a_{1}a_{2}b_{3}+a_{1}a_{3}b_{2}-a_{2}a_{3}b_{1}
=a_{1}a_{2}b_{3}-a_{1}a_{2}b_{3}+a_{2}a_{3}b_{1}-a_{2}a_{3}b_{1}+a_{1}a_{3}b_{2}-a_{1}a_{3}b_{2}=0


Ahora demostramos para el vector \vec{b}

\vec{b} \cdot (\vec{a}\times\vec{b})=0
\vec{b} \cdot (\vec{a}\times\vec{b})=b_{1}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})+b_{2}(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})+b_{3}(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})
=b_{1}a_{2}b_{3}-b_{1}a_{3}b_{2}+b_{2}a_{3}b_{1}-b_{2}a_{1}b_{3}+b_{3}a_{1}b_{2}-b_{3}a_{2}b_{1}
=a_{2}b_{1}b_{3}-a_{3}b_{1}b_{2}+a_{3}b_{1}b_{2}-a_{1}b_{2}b_{3}+a_{1}b_{2}b_{3}-a_{2}b_{1}b_{3}
=a_{2}b_{1}b_{3}-a_{2}b_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}b_{2}-a_{3}b_{1}b_{2}+a_{1}b_{2}b_{3}-a_{1}b_{2}b_{3}=0

Propiedades

  • \vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}
  • (c\vec{a})\times\vec{b}=c(\vec{a}\times\vec{b})=\vec{a}\times(c\vec{b})
  • \vec{a}\times(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{c}
  • (\vec{a}+\vec{b})\times\vec{c}=\vec{a}\times\vec{c}+\vec{b}\times\vec{c}
  • \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})=(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}
  • \vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=(\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c}


Ejemplo # 1

Si tenemos a=<1,3,4>, b=<2,7,-5> encontrar el producto cruz entre ellos:

\vec{a}\times\vec{b}= \begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\1 & 3 & 4\\ 2 & 7 & -5\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
3 & 4\\7 & -5\end{vmatrix}\hat{i}-\begin{vmatrix}1 & 4\\ 2 & -5\end{vmatrix}\hat{j}+\begin{vmatrix}1 & 3\\ 2 & 7\end{vmatrix}\hat{k}

=(-15-28)\hat{i}-(-5-8)\hat{j}+(7-6)\hat{k}

  • \vec{a}\times\vec{b}=-43\hat{i}+13\hat{j}+\hat{k}


Ejemplo # 2

Si tenemos a=<-4,2,1>, b=<5,7,-3> encontrar el producto cruz entre ellos:

\vec{a}\times\vec{b}= \begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\-4 & 2 & 1\\ 5 & 7 & -3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
2 & 1\\7 & -3\end{vmatrix}\hat{i}-\begin{vmatrix}-4 & 1\\ 5 & -3\end{vmatrix}\hat{j}+\begin{vmatrix}-4 & 2\\ 5 & 7\end{vmatrix}\hat{k}

=[(2)(-3)-(7)(1)]\hat{i}-[(-4)(-3)-(5)(1)]\hat{j}+[(-4)(7)-(5)(2)]\hat{k}

=(-6-7)\hat{i}-(12-5)\hat{j}+(-28-10)\hat{k}

  • \vec{a}\times\vec{b}=-13\hat{i}-7\hat{j}-38\hat{k}


Ejemplo # 3

Si tenemos a=<8,4,2>, b=<4,2,1> encontrar el producto cruz entre ellos:

\vec{a}\times\vec{b}= \begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\8 & 4 & 2\\ 4 & 2 & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
4 & 2\\2 & 1\end{vmatrix}\hat{i}-\begin{vmatrix}8 & 2\\ 4 & 1\end{vmatrix}\hat{j}+\begin{vmatrix}8 & 4\\ 4 & 2\end{vmatrix}\hat{k}

=[(4)(1)-(2)(2)]\hat{i}-[(8)(1)-(4)(2)]\hat{j}+[(8)(2)-(4)(4)]\hat{k}

=(4-4)\hat{i}-(8-8)\hat{j}+(16-16)\hat{k}

  • \vec{a}\times\vec{b}=0\hat{i}+0\hat{j}+0\hat{k}

Como podemos ver el producto cruz resultante es igual al vector nulo el cual nos dic de que los vectores son paralelos el uno del otro.

Otra forma para poder comprobar comprobar si un vector es paralelo a otro es ver si cualquiera de los dos es linealmente dependiente del otro.

Ejemplo # 4

Encuentre 3 puntos en el plano P, Q y R, para la siguiente ecuacion y encuentre \vec{PQ}\times\vec{PR}

4x-3y-6z=6

Propongamos los siguientes puntos que satisfacen la igualdad de la ecuación:

P=(0,0,-1), Q=(0,-2,0), R=(3,0,1).

Encontramos el vector \vec{PQ}.

\vec{PQ} = Q-P = (0,-2,0)-(0,0,-1) = <0-0,-2-0,0-(-1)>.
\vec{PQ} = <0,-2,1>.

Encontramos el vector \vec{PR}

\vec{PR} = R-P = (3,0,1)-(0,0,-1) = <3-0,0-0,1-(-1)>.
\vec{PR} = <3,0,2>.

Ahora calculamos

\vec{PQ}\times\vec{PR}.

Recordando que (\vec{a}\times\vec{b})=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2},a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3},a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}).

\vec{PQ}\times\vec{PR} = <0,-2,1>\times<3,0,2>.

\vec{PQ}\times\vec{PR} =<-2(0)-(1(0)),1(3)-(0(2)),0(0)-(-2(3))> .

\vec{PQ}\times\vec{PR} =<0,3,6> .
--Dieguito 22:25 30 abr 2010 (CST)

Ejemplo # 5

Encuentre 3 puntos en el plano M, N y O, para la siguiente ecuacion y encuentre \vec{MN}\times\vec{MO}

2x+3y+4z=4

Propongamos los siguientes puntos que satisfacen la igualdad de la ecuación:

M=(0,0,1), N=(2,0,0), O=(4,0,-1).

Encontramos el vector \vec{MN}.

\vec{MN} = N-M = (2,0,0)-(0,0,1) = <2-0,0-0,0-1>.
\vec{MN} = <2,0,-1>.

Encontramos el vector \vec{PR}

\vec{MO} = O-M = (4,0,-1)-(0,0,1) = <4-0,0-0,-1-1>.
\vec{MO} = <4,0,-2>.

Ahora calculamos

\vec{MN}\times\vec{MO}.

Recordando que (\vec{a}\times\vec{b})=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2},a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3},a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}).

\vec{MN}\times\vec{MO} = <2,0,-1>\times<4,0,-2>.

\vec{MN}\times\vec{MO} =<0(-2)-(-1(0)),-1(4)-(2(-2)),2(0)-(0(4))> .

\vec{MN}\times\vec{MO} =<0,0,0> .
--Dieguito 22:35 30 abr 2010 (CST)

Ejemplo # 6

Si tenemos a=<1,2,3>, b=<4,5,6> encontrar el producto cruz entre ellos:

\vec{a}\times\vec{b}= \begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\end{vmatrix} para ver de mejor manera el proximo paso lo podemos ver de esta forma \begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\end{vmatrix}\begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j}\\ 1 & 2\\ 4 & 5\end{vmatrix}

[(2*6)\hat{i} + (3*4)\hat{j} + (1*5)\hat{k}] - [(3*5)\hat{i} + (1*6)\hat{j} + (2*4)\hat{k}]

[12\hat{i} + 12\hat{j} + 5\hat{k} - 15\hat{i} - 6\hat{j} - 8\hat{k}]

-3\hat{i} + 6\hat{j} + -3\hat{k}

--Davsalazar 19:05 31 jul 2010 (CST)

Ejemplo # 7

Si tenemos a=<2,4,6>, b=<-6,-4,-2> encontrar el producto cruz entre ellos:

\vec{a}\times\vec{b}= \begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\2 & 4 & 6\\ -6 & -4 & -2\end{vmatrix} para ver de mejor manera el proximo paso lo podemos ver de esta forma \begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\2 & 4 & 6\\ -6 & -4 & -2\end{vmatrix}\begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j}\\ 2 & 4\\ -6 & -4\end{vmatrix}

[(4*-2)\hat{i} + (6*-6)\hat{j} + (2*-4)\hat{k}] - [(6*-4)\hat{i} + (2*-2)\hat{j} + (4*-6)\hat{k}]

[-8\hat{i} + -36\hat{j} + -8\hat{k} + 24\hat{i} + 4\hat{j} + 24\hat{k}]

16\hat{i} + -32\hat{j} + 16\hat{k}

--Davsalazar 19:13 31 jul 2010 (CST)

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