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El producto punto

De por WikiMatematica.org


Contenido

Producto Punto

Es útil en aplicaciones físicas. Es también llamado producto interno. El producto interno de dos vectores es una cantidad escalar.

Sean V= <a,b> y W=<c,d>
Definimos producto punto como la operación de un producto entre el vector V y el vector W, cual el resultado de dicho producto es un escalar.

El producto escalar de dos vectores en un espacio euclídeo se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que se forma.

\vec{a} \cdot \vec{b}=\left | \vec{a} \right | \cdot \left | \vec{b} \right |cos \theta


Definición

Si \vec{a} = <a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}> y \vec{b} = <b_{1},b_{2},b_{3},...,b_{n}>, entonces el producto punto de \vec{a} y \vec{b} es el número \vec{a}\cdot\vec{b} dado por:

\vec{a}\cdot\vec{b}=\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+...+a_{n}b_{n}

Propiedades

  •  \vec{a}\cdot\vec{a} = \left | \vec{a} \right |^2
  •  \vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{b}\cdot\vec{a}
  • \vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c}) = \vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c}
  • (c\vec{a})\cdot\vec{b}=c(\vec{a}\cdot\vec{b})=\vec{a}\cdot(c\vec{b})
  • \vec{a}\cdot\vec{0}=0

Norma

Para la definición de norma consideraremos el vector \vec{a}=<a_1,a_2,a_3>.

Se sigue del teorema de Pitágoras que la longitud del vector a es \left \  \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}. La longitud del vector a se denota por \left \| \vec{a} \right \|. Es frecuente llamar a esta cantidad la norma de a. Como \vec{a}\cdot\vec{a} \left \ = {a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2} se sigue que \left \| \vec{a} \right \| = (\vec{a}\cdot\vec{a})^{\frac{1}{2}} .

Demostraciones

</br> </br> Vector1.jpg </br> </br> --Harry 22 23:34 30 abr 2010 (CST) </br>

Teorema

\vec{a} \cdot \vec{b}=\left | \vec{a} \right | \cdot \left | \vec{b} \right |cos \theta

Demostración

Vect angl.jpg

\left | AB \right |^2 = \left | OA \right |^2 + \left | OB \right |^2 - 2\left | OA \right |\left | OB \right | cos \theta

\left| \vec{a} - \vec{b} \right |^2 = \left | \vec{a} \right |^2 + \left | \vec{b} \right |^2 - 2\left | \vec{a} \right |\left | \vec{b} \right | cos \theta

\left| \vec{a}\right |^2 - 2 \vec{a} \vec{b} + \left| \vec{b}\right |^2= \left | \vec{a} \right |^2 + \left | \vec{b} \right |^2 - 2\left | \vec{a} \right |\left | \vec{b} \right | cos \theta

\vec{a} \vec{b}=\left | \vec{a} \right |\left | \vec{b} \right | cos \theta

\theta = cos^{-1}\frac{\vec{a} \vec{b}}{\left | \vec{a} \right | \left | \vec{b} \right |}

\theta = cos^{-1}(\hat{a} \hat{b})

Ejemplo # 1

<2,4>\cdot<3,-1>.
2(3)+4(-1)=2.

Ejemplo # 2

<5,7>\cdot<-4,-7>.
5(-4)+7(-7)=-29.

Ejemplo # 3

<-1,7,4>\cdot<6,2,-\frac{1}{2}>.
-1(6)+7(2)+4(-\frac{1}{2})=6.

Ejemplo # 4

<4,3,3>\cdot<\frac{3}{2},1,\frac{2}{3}>.
4(\frac{3}{2})+3(1)+3(\frac{2}{3})= 11.

Ejemplo # 5

<1,2,4,5>\cdot<5,3,-\frac{1}{8},8>.
1(5)+2(3)+4(-\frac{1}{8})+5(8)=50.5.


Con este ejemplo se demuestra que el producto punto puede aplicarse en n-dimensiones

Ejemplo # 6

<1,2,1,0>\cdot<0,-1,2,7>.
1(0)+2(-1)+1(2)+0(7)=0.

Nótese algo interesante en el producto punto, el resultado es cero. Eso quiere decir que los dos vectores son ortogonales.

Ejemplo # 7

<9,6,1,7>\cdot<-7,-1,5,6>.
9(-7)+6(-1)+1(5)+7(6)=-22  .

Ejemplo # 8

si el producto punto es igual a cero, entonces es ortogonal
<9,5,9,5>\cdot<-1,-1,1,1>.
9(-1)+5(-1)+9(1)+5(1)=0  .

Corolario

\vec{a} y \vec{b} son ortogonales si \vec{a} \cdot \vec{b}=0

Demostración
Sabemos que \vec{a} \cdot \vec{b}=\left | \vec{a} \right | \cdot \left | \vec{b} \right |cos \theta
Si hacemos \theta=90^{\circ}, entonces cos(\theta)=0 y eso hace que en nuestra ecuación \vec{a} \cdot \vec{b}=0

Proyecciones

Cuando tenemos dos vectores como en la siguiente figura, se genera una sombra del vector b sobre el vector a. Llamaremos al vector de la sombra la proyección vectorial y al módulo de este vector le llamaremos proyección escalar.

Proyeccion.jpg

Proyección Escalar

Comp_{\vec{a}} \vec{b}=|\vec{b}| cos(\theta)=|\vec{b}|\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|}

Proyeccion Vectorial

Proy_{\vec{a}} \vec{b}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} cos(\theta)=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} \cdot \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}=\vec{a} \cdot \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|^2}

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