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Expresiones algebraicas

De por WikiMatematica.org

Una expresión algebraica es una expresión en la que se relacionan valores indeterminados con constantes y cifras, todas ellas ligadas por un número finito de operaciones. A los valores indeterminados se les suele llamar variables.

Una variable es una letra que representa cualquier número de un conjunto dado de números. Si combinamos variables como (x, y, z), algunos números reales y operadores básicos como los de la suma, resta, multiplicación y división, obtendremos una expresión algebraica.

x + 9y2


Ejemplos de expresiones algebraicas son:


Longitud de la circunferencia: L = 2r, donde r es el radio de la circunferencia.

Área del cuadrado: S = l2, donde l es el lado del cuadrado.

Volumen del cubo: V = a3, donde a es la arista del cubo.



Valor numérico de una expresión algebraica

El valor numérico de una expresión algebraica, para un determinado valor, es el número que se obtiene al sustituir en ésta el valor numérico dado y realizar las operaciones indicadas. L(r) = 2r

r = 5 cm. L (5)= 2 · · 5 = 10 cm S(l) = l2 l = 5 cm A(5) = 52 = 25 cm2 V(a) = a3 2 a = 5 cm V(5) = 53 = 125 cm3

Contenido

Tipos de Expresiones Algebraicas

  • Racional
    • Enteros
    • Fraccionarias
  • Irracional

Partes de un monomio

Coeficiente El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las variables. 3

Parte literal La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes.

Grado El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables. El grado de 2x2 y3 z es: 2 + 3 + 1 = 6

Polinomios

Tipos

Monomio: Es el producto de una constante por una variable elevada a una potencia entera no negativa. Tiene la forma de:
axk
a=constante.
k=grado.

Ejemplo:

6x2;=monomio.

3; no es monomio.

Polinomio

Ejemplo:

− 8x3 + 4x2 − 6x + 2 es un polinomio.

Suma y resta de polinomios:

Ejemplo:

P(x) = 8x3 + 4x2 − 6x + 2

Q(x) = 3x4 − 2x3 + x2 + x

Escribimos todo como una sola expresión:

P(x) + Q(x) = (8x3 + 4x2 − 6x + 2) + (3x4 − 2x3 + x2 + x)

Para mayor claridad, agrupar por el valor de las potencias:

P(x) + Q(x) = 3x4 + 8x3 − 2x3 + 4x2 + x2 − 6x + x + 2

Finalmente sumar las expresiones del mismo grado:

P(x) + Q(x) = 3x4 + 6x3 − 5x2 − 5x + 2

Multiplicación de polinomios

P(x) = 2x2 + 3x + 1

Q(x) = 5x + 3

P(x) * Q(x) = (2x2 + 3x + 1) * (5x + 3)

Ahora multiplicamos cada uno de los elementos de la primera expresión por la segunda:

P(x) * Q(x) = 2x2(5x + 3) + 3x(5x + 3) + 1(5x + 3)

P(x) * Q(x) = 10x3 + 6x2 + 15x2 + 9x + 5x + 3

Finalmente sumar las expresiones del mismo grado:

P(x) * Q(x) = 10x3 + 21x2 + 14x + 3

Productos Notables

Productos notables, este es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales. Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados y recíprocamente. Es recomendable memorizar todos los productos notables posibles ya que son utilizados frecuentemente en el álgebra.

Factor común

El resultado de multiplicar un binomio a+b con un término c se obtiene aplicando la propiedad distributiva:

ca + cb = c(a + b)

Ejemplo
12x2 + 18xy = 3x(4x + 6y)

Diferencia de cuadrados

Dos binomios conjugados son aquellos que sólo se diferencien en el signo de la operación. Para multiplicar binomios conjugados, basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos, obteniendo una diferencia de cuadrados
(a + b)(ab) = a2b2
Ejemplo
(3x + 5y)(3x − 5y) = (3x)(3x) + (3x)( − 5y) + (5y)(3x) + (5y)( − 5y)
Agrupoando los terminos:
(3x + 5y)(3x − 5y) = 9x2 − 25y2
Ejemplo 2
(2x − 3)(2x + 3) = (2x)2 − (3)2

en este video se entiende un poco mas facil espero les sirva: http://www.youtube.com/watch?v=NYz6PEEdY4M (2x − 3)(2x + 3) = 22X2 − 9

(2x − 3)(2x + 3) = 4x2 − 9

Binomio al cuadrado

Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Es decir: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Un trinomio de la forma: a2 + 2ab + b2, se conoce como trinomio cuadrado perfecto. Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es: (ab)2 = a2 − 2ab + b2

En ambos casos el tercer término tiene siempre signo positivo.
Ejemplo
(2x − 3y)2 = (2x)2 + 2(2x)( − 3y) + ( − 3y)2

simplificando: (2x − 3y)2 = 4x2 − 12xy + 9y2

Ejemplo 1 Binomio al Cuadrado

Pasos para efectuar un binomio al cuadrado:

1. El primer término lo elevamos al cuadrado
2. El doble del primero término se multiplica por el segundo                           
3. El segundo término se eleva al cuadrado

(3x − 4)2 = 9x2 − 24x + 16

Ejemplo 2

(5x + 2)2 = 25x2 + 20x + 4

Ejemplo 3

(6y + 5)2 = 36y2 + 60x + 25

Ejemplo 4

(4z − 6)2 = 16z2 − 48x + 36

Binomio al cubo

Ejemplo

(x + y)3(x2xy + y2) = x3 + y3

(xy)3(x2 + xy + y2) = x3y3

(3x − 4)2 = 9x2 − 2(3x)(4) + (4)2

(3x − 4)2 = 9x2 − 24x + 16

(3x + 4)2 = 9x2 + 2(3x)(4) + (4)2

(3x + 4)2 = 9x2 + 24x + 16

Nota: Si el signo del binomio es positivo, en la respuesta cada término tendrá signo positivo, y si fuese negativo, el primer término será positivo, luego negativo y positivo.

(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

(xy)3 = x3 − 3x2y + 3xy2y3

Ejemplo

(x + 2)3 = x3 + 6x2 + 12x + 8

  • Diferencia y suma de cubos

(xy)(x2 + xy + y2) = x3y3

(x + y)(x2xy + y2) = x3 + y3

Ejemplo

(x + 2)(x2 − 2x + 4) = (x3 + 8)

(x − 2)(x2 + 2x + 4) = (x3 − 8)

Suma de Polinomios

La suma de polinomios consiste en sumar el coeficiente de los términos del mismo grado, si son diferentes sólo se deja indicado

Sumar ab, 2a + 3bc y − 4a + 5b

la suma suele indicarse incluyendo los sumandos dentro de parentésis; así:

(ab) + (2a + − c) + ( − 4a + 5b)

Ahora colocamos todos los términos de estos polinomios unos a continuación de otros con sus propios signos, y tendremos:

ab + 2a + 3bc − 4a + 5b = − a + 7bc

Ejemplo 1

(x + 2) + (x2 − 2x + 4) = x2 + x − 2x + 2 + 4 = x2x + 6

Ejemplo 2

(2x2 + 3x + 2) + (2x + 1) = 2x2 + 3x + 2x + 2 + 1 = 2x2 + 5x + 4

Ejemplo 3

(7x4 + 3x3 − 5x2 − 1) + (x4 + 2x3 − 3x2 + 3) = 7x4 + x4 + 3x3 + 2x3 − 5x2 − 3x2 + 3 − 1 = 8x4 + 5x3 − 8x2 + 2

Resta de Polinomios

La resta de polinomios consiste de realizar una suma algebraica. Si las variables al final de la operación son diferentes o bien que no sean del mismo orden, entonces solo dejamos indicada la expresión.

Ejemplo

(x + 2) − (x2 − 2x + 4) = − x2 + x + 2x + 2 − 4 = − x2 + 3x − 2

Multiplicación de Polinomios

En la multipicación de plinomios se presentan diferentes casos:


Concepto de polinomio de una sola variable Un polinomio de una sola variable es una expresión algebraica de la forma: P(x) = an xn + an - 1 xn - 1 + an - 2 xn - 2 + ... + a1 x1 + a0 Siendo an, an -1 ... a1 , ao números, llamados coeficientes. n un número natural. x la variable o indeterminada. an es el coeficiente principal. ao es el término independiente.


  • Constante x polinomio.

Se resuelve multiplicando la constante por cada uno de los coeficientes del polinomio.

Ejemplo

2(x2 − 2x + 4) = 2x2 − 4x + 8


  • Monomio x polinomio

Es el producto de cada elemento del polinomio con el monomio. Se multiplican los coeficientes, si se tiene la misma base se copia la base y se suman los exponentes , sino sólo se deja indicada la multiplicación.

Ejemplo

2x3(x2 − 2x + 4y) = 2x5 − 4x4 + 8x3y


  • Polinomio x polinomio.

Se multiplica cada elemento de un polinomio por todos los elementos del otro polinomio.

Ejemplo

3x(2) = 2 + 4x

Efectuamos la miltiplicacion

6x = 2 + 4x

Ahora agrupamos terminos semejantes

6x − 4x = 2

2x = 2

Por lo tanto

x = 1

Ejemplo

(x + 2)(x3 + 8) = x4 + 8x + 2x3 + 16 = x4 + 2x3 + 8x + 16

División de Polinomios

La división de polinomios, es muy parecida a la división de números enteros, tiene las mismas partes que cualquier división, dividendo P(x), divisor Q(x), residuo R(x) y cociente C(x).

Una manera de comprobar que la división se realizó de un modo exitoso es utilizando la siguiente ecuación:

P(x) = Q(x) * C(x) + R(x)

Pasos para efectuar un binomio al cuadrado: 1. el primer término lo elevamos al cuadrado 2. el doble del primero término se multiplica por el segundo término 3. el segundo término elevado al cuadrado

Ejemplo:

(3x − 4)2 = 9x2 − 2(3x)(4) + (4)2

= 9x2 − 24x + 16

(3x + 4)2 = 9x2 + 2(3x)(4) + (4)2

= 9x2 + 24x + 16

Nota: si el signo del binomio es positivo, en la respuesta cada término tendrá signo positivo, y si fuese negativo, el primer término será positivo, luego negativo y positivo.


Ejemplo división de polinomios

Divpolinom.jpg

Repaso de las propiedades de los de los exponentes

Pe1.JPG

Pe2.JPG

Pe3.JPG

Pe4.JPG

Pe5.JPG

Pe6.JPG

Videos de apoyo

http://www.youtube.com/watch?v=NYz6PEEdY4M
http://www.youtube.com/watch?v=OeUfd9UMdpk&feature=related

Monomios Y Polinomios

Si x es una variable, entonces un monomio en x es una expresión dada de la forma "ax", en donde a es un numero real y n es un entero no negativo. Se sabe que un binomio es una suma de dos monomios y un trinomio una suma de tres monomios. También sabemos que un polinomio es una suma de cualquier numero de monomios en x.

Dos polinomios son iguales, si y solo si si son del mismo grado y los coeficientes de potencias semejantes de x son iguales. Si en el caso que todos los coeficientes de un polinomio son cero, se obtiene el llamado Polinomio cero y se escribe con 0.

Otro caso muy parecido es que c es un numero real diferente de cero, en ese caso c es un polinomio de grado 0, que son conocidos como Polinomios Constantes.

Si el coeficiente de un polinomio cualquiera es negativo, usamos un signo menos entre terminos apropiados.

Ejemplo 3x2+(-5)+(-7)= 3x2-5x-7

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