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Expresiones cuadráticas

De por WikiMatematica.org


En ocasiones la integración definida o indefinida de Función matemática|funciones de una variable se facilita mediante las llamadas fórmulas de reducción. Son éstas una cierta forma de poner en relación integrales que, además de depender de una determinada variable independiente  u , también son dependientes de un parámetro  n , con otras de la misma (o parecida) especie en las que ese parámetro aparece reducido a otro menor, esto es, fórmulas como


\int f(u,n) \cdot du = g(u,n) + a \int f(u,n-b) \cdot du


Otras veces los parámetros pueden ser más de uno.

La siguiente es una lista de esta clase de fórmulas de reducción, la mayor parte de las veces deducidas mediante la técnica de Métodos de integración|integración por partes. Cada una de ellas tiene la limitación de no ser aplicable para los respectivos valores de los coeficientes que anulen alguno de los denominadores.

¿Qué es una expresión cuadrática?

Una ecuación es una expresión algebraica que consta de dos miembros separados por un signo de igualdad. Uno o ambos miembros de la ecuación debe tener al menos una variable o letra, llamada incógnita. Las ecuaciones se convierten en identidades sólo para determinados valores de la(s) incógnita(s); una ecuación cuadrática es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Un ejemplo sería:

 2x^2 - 3x = 9.

¿Qué contienen expresiones cuadráticas?

I_n = \int \frac {du}{\left( a^2 \pm u^2 \right)^n} = \frac {u}{2a^2 (n-1) \left(a^2 \pm u^2 
</dd></dl>
<p>\right)^{n-1}} + \frac {2n-3}{2a^2(n-1)} I_{n-1} I_n = \int \frac {du}{\left (u^2 \pm a^2 \right)^n} = \pm \frac {u}{2a^2(n-1) \left( u^2 \pm 
</p><p>a^2 \right)^{n-1}}\pm \frac {2n-3}{2a^2(n-1)} I_{n-1} I_n = \int \left( a^2 \pm u^2 \right)^n du = \frac {u \left( a^2 \pm u^2 \right)^n}{2n+1} + 
</p><p>\frac {2a^2 n}{2n+1} I_{n-1} I_n = \int \left( u^2 - a^2 \right)^n du = \frac {u \left( u^2 - a^2 \right)^n}{2n+1} - \frac 
</p><p>{2a^2n}{2n+1} I_{n-2}  I_{m,n} = \int \frac {u^m du}{\left( a^2 \pm u^2 \right)^n} = \mp \frac {u^{m-1}}{2(n-1) 
</p><p>\left(a^2 \pm u^2 \right)^{n-1}}\pm \frac {m-1}{2(n-1)} I_{m-2,n-1} I_n = \int \frac {u^n du}{\sqrt {a^2 - u^2}} = - \frac 1n u^{n-1} \sqrt {a^2 - u^2} + \frac 
</p><p>{n-1}{n} a^2 I_{n-2}  I_{m,n} = \int \frac {u^m du}{\left( u^2 \pm a^2 \right)^n} = - \frac {u^{m-1}}{2(n-1) 
</p><p>\left(u^2 \pm a^2 \right)^{n-1}} + \frac {m-1}{2(n-1)} I_{m-2,n-1}


I_n = \int \frac {u^n du}{\sqrt{u^2 \pm a^2}} = \frac 1n u^{n-1} \sqrt {u^2 \pm a^2} \mp \frac 
</p><p>{n-1}{n} I_{n-2}</math>
</p><p><br />
<tex> I_{m,n} = \int \frac {1}{u^n} \left( a^2 \pm u^2 \right)^m du = -\frac {1}{(n-1) u^{n-1}} 
</p><p>\left( a^2 \pm u^2 \right)^m \pm \frac {2m}{n-1} I_{m-1,n-2}


 I_{m,n} = \int \frac {1}{u^n} \left( u^2 \pm a^2 \right)^m du = -\frac {1}{(n-1) u^{n-1}} 
</p><p>\left( u^2 \pm a^2 \right)^m + \frac {2m}{n-1} I_{m-1,n-2}


 I_{m,n} = \int \frac {1}{u^n} \left( a^2 \pm u^2 \right)^m du = \frac {1}{(2m-n+1) u^{n-1}} 
</p><p>\left( a^2 \pm u^2 \right)^m + \frac {(n-1)a^2}{2m-n+1} I_{m-1,n}


 I_{m,n} = \int \frac {1}{u^n} \left( u^2 \pm a^2 \right)^m du = \frac {1}{(2m-n+1) u^{n-1}} 
</p><p>\left( u^2 \pm a^2 \right)^m \pm \frac {(n-1)a^2}{2m-n+1} I_{m-1,n}


I_n = \int \frac {1}{u^n} \sqrt {u^2 \pm a^2} \cdot du = \mp \frac {1}{(n-1) a^2 u^{n-1}} 
</p><p>\left( u^2 \pm a^2 \right)^{3/2} \mp \frac {n-4}{(n-1)a^2} I_{n-2}


 I_{m,n} = \int \frac {1}{u^n} \left( a^2 \pm u^2 \right)^m du = - \frac {2(m+1) \left( a^2 \pm u^2 \right)^{m+1}}{(n-1)^2 a^2 u^{n-1}} \pm \frac {2(m+1)(2m-n+3)}{(n-1)^2 a^2} I_{m,n-2}


I_n = \int \frac {1}{u^n} \sqrt {a^2 - u^2} \cdot du = \frac {1}{(n-1) a^2 u^{n-1}} \left( a^2 
- u^2 \right)^{3/2} - \frac {n-4}{(n-1)a^2} I_{n-2}

 I_{m,n} = \int u^n \left( u^2 \pm a^2 \right)^m du = \frac {1}{2m+n+1} u^{n-1} \left( u^2 \pm 
a^2 \right)^{m+1} \mp \frac {(n-1) a^2}{2m+n+1} I_{m,n-2}

I_n = \int u^n \sqrt {u^2 \pm a^2} \cdot du = \frac {1}{n+2} u^{n-1} \left( u^2 \pm a^2\right)^{3/2} \mp \frac {n-1}{n+2} a^2 I_{n-2}

 I_{m,n} = \int u^n \left( a^2 \pm u^2 \right)^m du = \pm \frac {1}{2m+n+1} u^{n-1} \left( a^2 
</p><p>\pm u^2 \right)^{m+1} \mp \frac {(n-1) a^2}{2m+n+1} I_{m,n-2}

I_n = \int u^n \sqrt {a^2 - u^2} \cdot du = \frac {1}{n+2} u^{n-1} \left( a^2 - u^2 
</pre>
<p>\right)^{3/2} - \frac {n-1}{n+1} a^2 I_{n-2}


 I_{m,n} = \int u^n \left( u^2 \pm a^2 \right)^m du = \frac {1}{2m+n+1} u^{n+1} \left( a^2 \pm 
</p><p>u^2 \right)^m \pm \frac {2m a^2}{2m+n+1} I_{m-1,n}

 I_{m,n} = \int u^n \left( a^2 \pm u^2 \right)^m du = \frac {1}{2m+n+1} u^{n+1} \left( u^2 \pm 
</pre>
<p>a^2 \right)^m + \frac {2m a^2}{2m+n+1} I_{m-1,n}


 I_{m,n} = \int \frac {du}{u^n \left( a^2 \pm u^2 \right)^m} = \frac {1}{2(m-1)a^2 u^{n-1} 
</p><p>\left( a^2 \pm u^2 \right)^{m-1}} + \frac {2m+n-3}{2(m-1)a^2} I_{m-1,n}

I_n = \int \frac {du}{u^n \sqrt {a^2 - u^2}} = - \frac {1}{(n-1)a^2u^{n-1}} \sqrt {a^2 - u^2} + 
</pre>
<p>\frac {n-2}{(n-1)a^2} I_{n-2}

 I_{m,n} = \int \frac {du}{u^n \left( u^2 \pm a^2 \right)^m} = \pm \frac {1}{2(m-1)a^2 u^{n-1} 
</p><p>\left( u^2 \pm a^2 \right)^{m-1}} \pm \frac {2m+n-3}{2(m-1)a^2} I_{m-1,n}

I_n = \int \frac {du}{u^n \sqrt {u^2 \pm a^2}} = \mp \frac {1}{(n-1)a^2 u^{n-1}} \sqrt {u^2 \pm 
</p><p>a^2} \mp \frac {n-2}{(n-1)a^2} I_{n-2}

 I_{m,n} = \int \frac {du}{u^n \left( a^2 \pm u^2 \right)^m} = - \frac {1}{(n-1)a^2 u^{n-1} 
</p><p>\left( a^2 \pm u^2 \right)^{m-1}} \mp \frac {2m+n-3}{(n-1)a^2} I_{m,n-2}

 I_{m,n} = \int \frac {du}{u^n \left( u^2 \pm a^2 \right)^m} = \mp \frac {1}{(n-1)a^2 u^{n-1} 
</pre>
<p>\left( u^2 \pm a^2 \right)^{m-1}} \mp \frac {2m+n-3}{(n-1)a^2} I_{m,n-2}

 I_n = \int \frac {dx}{\left( ax^2+bx+c \right)^n} = \frac {2ax+b}{(n-1) \left( 4ac-b^2 \right) 
</pre>
<p>\left( ax^2+bx+c \right)^{n-1}} + \frac {2(2n-3)a}{(n-1) \left( 4ac-b^2 \right)} I_{n-1}

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