.

Extremos en un intervalo

De por WikiMatematica.org

Contenido

Definición de Extremos

Sea f definida en un intervalo I que contiene a c.

  1. f(c) es el (valor) mínimo de f en I f(c)\leq f(x)\; \forall x \epsilon I
  2. f(c) es el (valor) máximo de f en I f(c)\geq f(x)\; \forall x \epsilon I

El máximo y el mínimo de una función en un intervalo son los valores extremos,o simplemente extremos, de la función en ese intervalo. El mínimo y el máximo de una función en un intervalo se llaman también el mínimo absoluto y el máximo absoluto de la función en el intervalo.

Teorema de los valores extremos

Si f es continua en un intervalo cerrado \left [ a,b \right ], entonces f alcanza un valor máximo y también un valor mínimo es ese intervalo.

Máximos y Mínimos relativos

Máximos de una Función.

En un punto en el que la derivada se anule y antes sea positiva y después del punto negativa, se dice que la función tiene un máximo relativo. Es decir, que F'(xo) = 0 y en ese punto, la función, pase de creciente a decreciente. En x = a la función tiene un máximo relativo y se observa que su derivada se anula en ese punto, pasando de positiva a negativa. (se anula y cambia de signo). Máx en (a,f(a))

Mínimos de una Función

En un punto en el que la derivada se anule y antes sea negativa y después del punto positiva, se dice que la función tiene un mínimo relativo. Es decir, que F'(xo) = 0 y en ese punto, la función, pase de decreciente a creciente. En x = b la función tiene un mínimo relativo y se observa que su derivada se anula en ese punto, pasando de negativa a positiva. Mín en (b,f(b)). Para que una función tenga máximo o mínimo no es suficiente con que su derivada se anule (debe, además, cambiar de signo).

Definición de extremos relativos

  1. Si existe un intervalo abierto que contiene a c y en el que f(c) es máximo, entonces f(c) se llama máximo relativo de f.
  2. Si existe un intervalo abierto que contiene a c y en el que f(c) es mínimo, entonces f(c) se llama un mínimo relativo de f.

Definición de números críticos

Sea f definida en c. Si f'(c)=0 no está definida en c, se dice que c es un número crítico de f.

Teorema 1 Los extremos relativos sólo ocurren en los números críticos

Si f tiene un máximo relativo o un mínimo relativo en x=c, c es un número critico de f.

Demostración

Ejercicios

Busca mas temas

Loading


Anuncios