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Formas indeterminadas y regla de L´Hôpital

De por WikiMatematica.org


http://youtu.be/NTBp8LxkO1s

Contenido

Regla de L'Hôpital

 Si f y g son funciones derivables en (a,b) con c  \epsilon (a,b) excepto en c
 g'(x)\neq 0 para todo x  \epsilon (a,b) excepto en c
 Si el \displaystyle\lim_{x \to{c}\frac{f(x)}{g(x)} es \frac{0}{0} \frac{\infty}{\infty} => \displaystyle\lim_{x \to{c}\frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle\lim_{x \to{c}\frac{f'(x)}{g'(x)}

Si f: D\rightarrow \Re y g: D\rightarrow \Re son tales que f(a)=0 , g(a)=0

\Rightarrow\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\rightarrow a}\frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}


Recordatorio: sean f y g funciones continuas sobre un intervalo cerrado [a,b] y derivable sobre el intervalo abierto (a,b). Si g(a) \neq g(b) y y'(x)=0 para x \varepsilon (a,b) \exists{} c \varepsilon (a,b) talque \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}

Formas indeterminadas y determinadas.

Existen formas indeterminadas y formas determinadas.

Formas indeterminadas:

Todas estas formas indeterminadas se refieren a cuando una variable tienda a ese valor.

  1. \frac{0}{0}
  2. \frac{\infty}{\infty}
  3. \infty-\infty
  4. 0*\infty
  5. 0^{0}
    1. y=0^{0}
    2. ln y = 0 ln {0}
    3. 0*\infty

  6. 1^{\infty}
  7. \infty^{0}

Formas determinadas:

  1. \infty+\infty = \infty
  2. -\infty-\infty = -\infty
  3. 0^{\infty} = 0
  4. 0^{-\infty} = 0

Ejemplos

1)\lim_{x \to 0^{+}}(1+x)^{\frac{1}{x}}

\lim_{x \to 0^{+}}(1+x)^{\frac{1}{x}} = 1^{\infty}
\ y = \lim_{x \to 0^{+}}(1+x)^{\frac{1}{x}}
\lny = \lim_{x \to 0^{+}}\frac{1}{x}ln(1+x)
\lny = \lim_{x \to 0^{+}}\frac{ln(1+x)}{x} = \frac{0}{0}
aplicando la definicion se realiza \frac{f'(x)}{g'(x)}
\frac{1}{1+x} = 1

\ y = e

2)\lim_{x \to 0^{+}}\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}

\lim_{x \to 0^{+}}\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = \infty-\infty

\Rightarrow \lim_{x \to 0^{+}}\frac{x^{2}-x}{x*x^{2}} = \frac{0}{0}

aplicando la definicion se realiza \frac{f'(x)}{g'(x)}

\Rightarrow \frac{2x-1}{2x} = \frac{-1}{0} = -\infty


Ejemplo # 2

Calcule \lim_{x \to \infty }\frac{ e^{x}}{x^{2}}

valuamos el limite entonces tenemos que \lim_{x \to \infty } e^{x}= \infty y \lim_{x \to \infty } x^{2}= \infty entonces usamos la regla de L`Hospital

\lim_{x \to \infty }\frac{ e^{x}}{2x}

Volvesmos a evaluar el limite

\lim_{x \to \infty }\frac{ e^{x}}{2x} = \frac{\infty }{\infty }

ya que es sigue siendo indeterminado volvemos a utilizar la regla de L`Hospital.

\lim_{x \to \infty }\frac{ e^{x}}{2} = \infty


Ejemplo # 3

Calcule \lim_{x \to 0 }\frac{tanx - x}{x^{3}}

valuamos el Limite.

\lim_{x \to 0 }\frac{tanx - x}{x^{3}} = \frac{0}{0} aplicamos la regla de L`Hospital

\lim_{x \to 0 }\frac{sec^{2}x - 1}{3x^{2}} valuamos el limite \lim_{x \to 0 }\frac{sec^{2}x - 1}{3x^{2}} = \frac{0}{0} Volvemos aplicar la regla.

\lim_{x \to 0 }\frac{sec^{2}x tagx - 1}{6x} = \frac{0}{0}

\lim_{x \to 0 }\frac{sec^{2}x * tag^{2}x+ 2sec^{4}x - 1}{6} = \frac{1}{3}

Ejemplo # 4

\lim_{n\to \infty}\frac{3n^2+2n}{n^2+2}=\lim_{n\to \infty}\frac{n^2(3+\frac{2}{n})}{n^2(1+\frac{2}{n})}= 3


Ejemplo # 5

Calcular \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}

\lim_{x\to 0}\sin x=0 y \lim_{x\to 0}x=0

Usando L'Hospital

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=\frac{\partial}{\partial x}\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=1


Ejemplo # 6

\lim_{x\to 0}   \frac{e^{2x} - 1}{e^{x} - 1}

forma indeterminada: \ \frac{0}{0}

Usando L'Hospital:

\ \lim_{x\to 0}   \frac{2e^{2x}}{e^{x}}  =2

--Juniorr 21:52 27 feb 2010 (CST)

Ejemplo # 7

\lim_{x\to\infty}  \frac{3x^{2}-1}{2x^{2}+1}

forma indeterminada: \  \frac{\infty}{\infty}

Usando L'Hospital:

\ lim_{x\to \infty}  \frac{6x}{4x}

forma indeterminada: \  \frac{\infty}{\infty}

Usando L'Hospital:

\lim_{x\to\infty}  \frac{6}{4}   = \frac{6}{4}

--Juniorr 22:04 27 feb 2010 (CST)

Ejemplo # 8

\lim_{x\to\infty} \frac{lnx}{x}

forma indeterminada: \  \frac{\infty}{\infty}

Usando L'Hospital:

\\lim_{x\to\infty} \frac{\frac{1}{x}}{1}  = 0

--Juniorr 22:19 27 feb 2010 (CST)

Ejemplo # 9

\\lim_{x\to\infty} \frac{x^{2}}{e^{-x}}

forma indeterminada: \  \frac{\infty}{0}

\ \lim_{x\to\infty} x^{2} e^{x}

forma: \ \infty  \infty

\ = \infty

--Juniorr 22:26 27 feb 2010 (CST)


Ejemplo # 10

\ \lim_{x\to 0}  \frac{Sen2x}{Sen3x}

forma indeterminada: \  \frac{\infty}{\infty}

Usando L'Hospital:

\ \lim_{x\to 0}  \frac{2Cos2x}{3Cos3x} = \frac{2}{3}

--Juniorr 23:13 27 feb 2010 (CST)

Ejemplo 11

 \lim_{x\rightarrow 1} \frac{ln(x)}{x^2-1}

Aplicamos L'Hospital ya que tenemos la forma indeterminada 0/0.

 \lim_{x\rightarrow 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{2x}{1}}

 \lim_{x\rightarrow 1} \frac{1}{2x^2}

Evaluamos el limite....

 \frac{1}{2}

\therefore \lim_{x\rightarrow 1} \frac{ln(x)}{x^2-1}

--Antonio Moran 20:45 28 feb 2010 (CST)tonymoran

Ejemplo 12

 \int_{-\infty }^{0}xe^xdx

 \lim_{b\rightarrow -\infty} \int_{b}^{0}xe^xdx

u=x

du=dx

v=e^x

dv=e^xdx

 \lim_{b\rightarrow -\infty} xe^x[0,b] - \int_{b}^{0}e^xdx

 \lim_{b\rightarrow -\infty} -be^b - e^x[0,b]

 \lim_{b\rightarrow -\infty} [-be^b -1 + e^b]

 -1 - \lim_{b\rightarrow -\infty} be^b

\lim_{b\rightarrow -\infty} be^b

\lim_{b\rightarrow -\infty} \frac{b}{e^{-b}}

\lim_{b\rightarrow -\infty} \frac{1}{-e^{-b}}=0

 \int_{-\infty }^{0}xe^xdx=-1

--KenRi 20:50 28 feb 2010 (CST)KenRi

Ejemplo 13

 \lim_{x\rightarrow 0} \frac{tanx-x}{x^3}

 \lim_{x\rightarrow 0} \frac{sec^{2}x-1}{3x^2}

 \lim_{x\rightarrow 0} \frac{2sec^{2}xtanx}{6x}

 \lim_{x\rightarrow 0}  4sec^{2}xtan^{2}x+2sec^{4}

 =\frac{1}{3}

--Antonio Moran 20:57 28 feb 2010 (CST)tonymoran

Ejemplo #13

\lim_{x \to \infty} cot(2x)sin(6x)

Primero sustituimos cot(2x) por 1/tan(2x)

\lim_{x \to 0} \frac{sin(6x)}{tan(2x)} = \frac{0}{0}

Utilizamos L'Hospital

\lim_{x \to 0} \frac{6cos(6x)}{2sec^2(2x)} = \frac{6 \cdot (1)}{2 \cdot (1)} =3

\therefore \lim_{x \to \infty} cot(2x)sin(6x) = 3

--KenRi 21:01 28 feb 2010 (CST)KenRi

Ejemplo 14

\lim_{x \to \infty}  xTan\frac{1}{x}


\lim_{x \to \infty}  \frac{Tan\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}


Forma Indeterminada \frac{0}{0}

Aplicando L'Hospital


\lim_{x \to \infty}  \frac{Sec^{2}(\frac{1}{x})(\frac{-1}{x^{2}})}{\frac{-1}{x^{2}}} = 1


   \lim_{x \to \infty}  xTan\frac{1}{x} = 1 

--Antonio Moran 21:03 28 feb 2010 (CST)tonymoran

Ejemplo 15

 \lim_{x\rightarrow 0+} (1+sen4x)^{cotx}

y= (1+sen4x)^{cotx}

\lim_{x\rightarrow 0+}lny=\lim_{x\rightarrow 0+}ln(1+sen4x)^{cotx}

\lim_{x\rightarrow 0+}lny=\lim_{x\rightarrow 0+} Cotx ln(1+sen4x)

\lim_{x\rightarrow 0+}lny=\lim_{x\rightarrow 0+} \frac { ln(1+sen4x)}{tanx}

lny=\lim_{x\rightarrow 0+} \frac{\frac{4cos4x}{(1+sen4x)}}{sec^{2}x}

lny=4/1

 y=e^4

--Antonio Moran 21:15 28 feb 2010 (CST)tonymoran

Ejemplo #16

\lim_{x \to -2} \frac{(x+2)}{(x^2+3x+2)} = \frac{0}{0}

\lim_{x \to -2} \frac{1}{2x+3} = -\frac{1}{1} = -1

--Davsalazar 21:30 28 feb 2010 (CST)

Ejemplo #17

\lim_{x \to 0} \frac{sen(x)-x}{x^3} = \frac{0}{0}

\lim_{x \to 0} \frac{cos(x)-1}{3x^2} = \frac{0}{0}

\lim_{x \to 0} \frac{-sen(x)}{6x} = \frac{0}{0}

\lim_{x \to 0} \frac{-cos(x)}{6} = -\frac{1}{6}

--Davsalazar 21:53 28 feb 2010 (CST)

Ejemplo #18

\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^3} = \frac{\infty}{\infty}

\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{3x^2} = \frac{\infty}{\infty}

\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{6x} = \frac{\infty}{\infty}

\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{6} = \infty

--Davsalazar 22:00 28 feb 2010 (CST)

Regla de L'Hôpital (mas ejemplos)

Aquí se explica de forma sencilla la aplicación de la regla del l´hopital para limites indeterminados. Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Antoine Francois Guillaume, (1661-1704) quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment pettit (1962), el primer texto que se ha escrito de calculo diferencial. Se dice que probablemente aprendió la regla de su maestro Johann Bernoulli http://es.wikipedia.org/wiki/Johann_Bernoulli.

Definición

Sean f(x) y g(x) dos funciones, c es finito de la forma “c, c-, c+“o infinito en cualquier sentido.

Ejemplo #19

\lim_{x \to \infty} \frac{e^{-x}}{x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{-e^{-x}}{2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{e^{-x}}{2} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{2e^x} = 0

Ejemplo #20

\lim_{x \to 0^+} (1+x)^\frac{1}{x}

Igualamos la función a un y y aplicamos logaritmo natural a ambos lados.

ln( y )= \lim_{x \to 0^+} ln((1+x)^\frac{1}{x})
ln( y )= \lim_{x \to 0^+} \frac{ln(1+x)}{x}
ln( y )= \lim_{x \to 0^+} \frac{ \frac{1}{x+1} }{1}
ln( y )= \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x+1} }
ln( y )= \infty

Ahora quitamos el logaritmo natural haciendo e^().

y = e^{\infty}
Por lo tanto:
\lim_{x \to 0^+} (1+x)^\frac{1}{x} = \infty

Ejemplo #21

 \lim_{x\rightarrow \infty} (1 +\frac{a}{x})^{bx})

y= \lim_{x\rightarrow \infty}((1 +\frac{a}{x})^{bx})

lny= \lim_{x\rightarrow \infty}ln((1 +\frac{a}{x})^{bx})

lny= \lim_{x\rightarrow \infty}bxln(1 +\frac{a}{x})

lny= \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{ln(1 +\frac{a}{x})}{1/bx}

lny= \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\frac{-a}{(1+\frac{a}{x})x^2}}{\frac{1}{bx^2}}

lny= \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{ab}{\frac{1+\frac{a}{x}}}


lny= ab
y=e^{ab}

Ejemplo 20

\lim_{x \to 0^{+}}\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}

\lim_{x \to 0^{+}}\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = \infty-\infty
\Rightarrow \lim_{x \to 0^{+}}\frac{x^{2}-x}{x*x^{2}} = \frac{0}{0}
aplicando la definicion se realiza \frac{f'(x)}{g'(x)}
\Rightarrow \frac{2x-1}{2x} = \frac{-1}{0} = -\infty --Antonio Moran 23:53 30 abr 2010 (CST)tonymoran

Ejemplo 21

\lim_{x \to \infty}  \frac{e^{x}}{x^{2}}

Forma Indeterminada \frac{\infty}{\infty}

Aplicando L'Hospital

\lim_{x \to \infty}\frac{e^{x}}{2x} =  \frac{\infty}{\infty}

Aplicando L'Hospital de nuevo

\lim_{x \to \infty}\frac{e^{x}}{2} = \infty

  \lim_{x \to \infty}  \frac{e^{x}}{x^{2}} = \infty  

--Antonio Moran 23:54 30 abr 2010 (CST)tonymoran

Ejemplo 22

 \int_{-\infty }^{0}xe^xdx

 \lim_{b\rightarrow -\infty} \int_{b}^{0}xe^xdx

u=x

du=dx

v=e^x

dv=e^xdx

 \lim_{b\rightarrow -\infty} xe^x[0,b] - \int_{b}^{0}e^xdx

 \lim_{b\rightarrow -\infty} -be^b - e^x[0,b]

 \lim_{b\rightarrow -\infty} [-be^b -1 + e^b]

 -1 - \lim_{b\rightarrow -\infty} be^b

\lim_{b\rightarrow -\infty} be^b

\lim_{b\rightarrow -\infty} \frac{b}{e^{-b}}

\lim_{b\rightarrow -\infty} \frac{1}{-e^{-b}}=0

 \int_{-\infty }^{0}xe^xdx=-1

--Antonio Moran 23:57 30 abr 2010 (CST)tonymoran

Ejemplo 23

 \int_{0}^{\infty}x^2e^{-x}dx



 \lim_{b\rightarrow \infty} \int_{0}^{b}x^2e^{-x}dx

Integramos......

 \lim_{b\rightarrow \infty} [ -x^2e^{-x}[0,b] -\int_{b}^{0} 2xe^{-x}dx]

 \lim_{b\rightarrow \infty} [ -x^2e^{-x}[0,b] - [2xe^{-x}[0,b] -\int_{b}^{0} 2e^{-x}dx]]

 \lim_{b\rightarrow \infty} [ -x^2e^{-x}[0,b] - [2xe^{-x}[0,b] -[-2e^{-x}[0,b] ]]]

 \lim_{b\rightarrow \infty} [ -x^2e^{-x} - 2xe^{-x} -2e^{-x}] [o,b]

Evaluamos..............

 \lim_{b\rightarrow \infty} -b^2e^{-b} - 2be^{-b} -2e^{-b} + 2

Aplicamos L'Hospital al primer termino, porque forma infinito * 0.

 \lim_{b\rightarrow \infty} \frac{-b^2}{e^{b}}

 \lim_{b\rightarrow \infty} \frac{-2b}{e^{b}}

 \lim_{b\rightarrow \infty} \frac{-2}{e^{b}}= 0

Aplicamos L'Hostpital al segundo termino, porque queda forma infinito*0.

 \lim_{b\rightarrow \infty} \frac{-2b}{e^{b}}

 \lim_{b\rightarrow \infty} \frac{-2}{e^{b}}= 0

Al tercer termino no le aplicamos L'Hospital porque nos da directamente 0

Al cuarto termino no le aplicamos L'Hospital porque nos da un valor que es 2

 0 + 0 + 0 +2

 \int_{0}^{\infty}x^2e^{-x}dx=2

--Antonio Moran 23:57 30 abr 2010 (CST)tonymoran

Ejemplo 24

1)\lim_{x \to 0^{+}}(1+x)^{\frac{1}{x}}

\lim_{x \to 0^{+}}(1+x)^{\frac{1}{x}} = 1^{\infty}
\ y = \lim_{x \to 0^{+}}(1+x)^{\frac{1}{x}}
\lny = \lim_{x \to 0^{+}}\frac{1}{x}ln(1+x)
\lny = \lim_{x \to 0^{+}}\frac{ln(1+x)}{x} = \frac{0}{0}
aplicando la definicion se realiza \frac{f'(x)}{g'(x)}
\frac{1}{1+x} = 1

\ y = e

2)\lim_{x \to 0^{+}}\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}

\lim_{x \to 0^{+}}\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = \infty-\infty

\Rightarrow \lim_{x \to 0^{+}}\frac{x^{2}-x}{x*x^{2}} = \frac{0}{0}

aplicando la definicion se realiza \frac{f'(x)}{g'(x)}

\Rightarrow \frac{2x-1}{2x} = \frac{-1}{0} = -\infty

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