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Fracciones parciales

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Contenido

Introducción a las fracciones parciales

El método de las fracciones parciales consiste en reducir un cociente de polinomios en fracciones más simples, que permitan obtener de manera inmediata una integral o una transformada de Laplace Inversa. El requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el grado del numerador.

Definimos fracciones parciales a la función F(x) en la cual dicha función depende de un numerador y un denominador. Para que sea una fracción parcial el grado del denominador tiene que ser mayor al grado del numerador.


Las integrales por fracciones parciales es de la forma \int\frac{P(x)}{Q(x)}\;dx donde:

  • P(x) y Q(x) son polinómios
  • El grado de P(x) es menor que el de Q(x)

NOTA

  • Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones más simples.
  • En álgebra, fracción parcial, descomposición o extensión parcial de la fracción se utiliza para reducir el grado de el numerador o el denominador de a función racional. El resultado de la extensión parcial de la fracción expresa esa función como la suma de las fracciones, donde:
- El denominador de cada término es irreducible (no factorizable) polinómico y,
- El numerador es un polinomio de un grado más pequeño que ese polinomio irreducible.

Caso I (Factores Lineales Distintos)

En este caso tenemos que los factores del denominador son todos factores lineales distintos.

Q(x) = (a1x + b1)(a2x + b2)(a3x + b3)...(anx + bn) a y b son constantes, proponer:

\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{A_{1}}{a_{1}x+b_{1}}\;+\frac{A_{2}}{a_{2}x+b_{2}}+\dots+\frac{A_{n}}{a_{n}x+b_{n}} (1)

Encontrar A1,A2,An

Ejemplo Caso I

Sea f(x)=\frac{1}{x^2+x-6}.

Primero factorizamos el denominador nos quedaría f(x)=\frac{1}{(x+3)(x-2)}

Tenemos entonces dos factores lineales no repetidos usamos el caso I para escribir

\frac{1}{(x+3)(x-2)}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-2}

Sigue este link para ver 5 ejemplos mas de fracciones parciales

Caso II (Factores Lineales Repetidos)

Suponga que el primer factor lineal (a1x + b1) se repite r veces; es decir, (a1x + b1)r aparece en la factorización de Q(x). Por lo tanto en lugar del término simple \frac{A_1}{a_1x+b_1} en (1), se usaría

\frac{A_1}{a_1x+b_1}+\frac{A_2}{(a_1x+b_1)^2}+\dots+\frac{A_r}{(a_1x+b_1)^r } (2)


Ejemplo caso II

Si tenemos f(x)=\frac{2x+1}{(x+1)^3(x-1)(x-2)}

en el denominador Q(x) = (x + 1)3(x − 1)(x − 2) podemos ver que tenemos que tenemos los factores lineales (x − 3)3, x − 1 y x − 2

  • Para (x − 1) y (x − 2) usamos el caso I entonces escribimos \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}
  • Para (x + 1)3 usamos el caso II entonces escribimos \frac{C}{x+1}+\frac{D}{(x+1)^2}+\frac{E}{(x+1)^3}

Ahora juntamos las fracciones anteriores y obtenemos, \frac{2x+1}{(x+1)^3(x-1)(x-2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x+1}+\frac{D}{(x+1)^2}+\frac{E}{(x+1)^3}

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Caso III (Factores Cuadráticos Irreducibles)

Si Q(x) tiene un factor de la forma ax2 + bx + c, donde b2 − 4ac < 0 (esto nos dice que no se puede expresar ax2 + bx + c como la multimplicacion de dos fatores lineales pues la solución de la cuadratica es compleja) además de las fracciones parciales de (1) y (2) entonces la expresión para \tfrac{P(x)}{Q(x)} tendrá un término de la forma \tfrac{Ax+B}{ax^2+bx+c}

Ejemplo Caso III

Sea f(x)=\frac{x}{(x+1)^2(x^2+1)} podemos notar que x2 + 1 es una cuadrática irreducible ya que su solución es compleja entonces para este factor escribimos una suma de la forma \frac{Ax+B}{x^2+1} y para el factor (x + 1)2 escribimos las fracciones

\frac{C}{x+1}+\frac{D}{(x+1)^2}

Sumamos estas fracciones y tenemos la expresion en fraciones parciales para f(x)

\frac{x}{(x+1)^2(x^2+1)}=\frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{C}{x+1}+\frac{D}{(x+1)^2}


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Caso IV (Factor Cuadrático Irreducible repetido)

Si Q(x) tiene un factor de la forma (ax2 + bx + c)r, donde b2 − 4ac < 0, luego en lugar de la única fracción parcial \tfrac{Ax+B}{ax^2+bx+c}, escribimos la suma

\frac{A_1x+B_1}{ax^2+bx+c}+\frac{A_2x+B_2}{(ax^2+bx+c)^2}+\dots+\frac{A_rx+B_r}{(ax^2+bx+c)^r}

Ejemplo Caso IV

Sea f(x)=\tfrac{2x+1}{(x-1)^3(x^2+4)^2} usamos el Caso II y el Caso IV y nos queda

\frac{2x+1}{(x-1)^3(x^2+4)^2}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{(x-1)^3}+\frac{Dx+E}{x^2+4}+\frac{Fx+G}{(x^2+4)^2}

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Caso V (Fracción Impropia)

Si  f(x)=\tfrac{P(x)}{Q(x)} es una fracción impropia (es decir, el grado de P(x) es mayor o igual que el de Q(x) entonces dividir P(x) por Q(x) para obtener:

\frac{P(x)}{Q(x)}=(\text{Un polinomio})+\frac{P_1(x)}{Q(x)}

Donde el grado de P1(x) es menor que el grado de Q(x)

Ejemplo Caso V

Sea f(x)=\tfrac{2x^3-4x^2-15x+5}{x^2-2x-8} podemos notar que el grado del numerador 2x3 − 4x2 − 15x + 5 es 3 y es mayor que el grado del denominador x2 − 2x − 8 que es 2 por lo que la fracción es un fracción impropia entonces hacemos division larga,

Division Larga.png

Entonces podemos escribir f(x)=2x+\frac{x}{x^2-2x-8}

donde en la fracción \tfrac{x}{x^2-2x-8} el grado del numerador es menor que el grado del denominador entonces ya podemos aplicar los métodos antes mencionados.

Ejemplos

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Vea También

  1. Matematica II
  2. Técnicas de Integración
  3. Sustitución
  4. Integración por partes


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