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Fracciones parciales ejemplos

De por WikiMatematica.org


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Descomponer en fracciones parciales: $\frac{1}{x^{3}+10x}$

$\text{Denominador} = x ( x^{2} + 10)$

$\frac{1}{x ( x^{2} + 10 )} = \frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^{2}+10}$

$A( x^{2} + 10 )+( Bx + C )x = 1$

$Ax^{2}+10A+Bx^{2}+Cx=1$

$( A + B )x^{2}+Cx+10A=1$

los valores se toman de la igualdad.

$A+B=0$

$C=0$

$10A=1$


$A=1/10$

$B=-1/10$

$\frac{1}{x( x^{2} + 10 )}=\frac{1}{10x}-\frac{x}{10 ( x^{2} + 10)}$

Siguiendo este link puedes ver 5 ejemplos mas de fracciones parciales

Resolver $\int \frac{2x^{2}+3}{(x^{2}+1)^2}dx$

Reescribiendo: $\frac{2x^{2}+3}{(x^{2}+1)^2}$ = $\frac{Ax+B}{(x^2+1)} + \frac{Cx + D}{(x^2+1)^2}$


Entonces: $2x^2+3 = (Ax+B)(x^2+1)+Cx+D = Ax^2+Bx^2+(A+C)x+(B+D)$


Donde: $A=0, B=2, (A+C)=0, (B+D)=3$ . Luego: $A=0,B=2, C=0, D=1$ y


$\int \frac{2x^{2}+3}{(x^{2}+1)^2}dx = \int \frac{2xdx}{x^2+1} + \int \frac{dx}{x^2+1}$



Para la segunda integral de la derecha, hacer $x=\tan z.$


Obteniendo: $\int \frac{dx}{x^2+1} = \int \frac{\sec^2zdz}{\sec^4z} = \int \cos^2zdz = \frac{1}{2}z + \frac{1}{4}\sin2z + C$



Siendo: $\int \frac{2x^{2}+3}{(x^{2}+1)^2}dx$ = $2\arctan x + \frac{1}{2}\arctan x + \frac{\frac{1}{2}x}{x^{2}+1} + C$


= $\frac{5}{2} \arctan x + \frac{\frac{1}{2}x}{x^{2}+1} + C$

Siguiendo este link puedes ver 5 ejemplos mas de fracciones parciales

Resolver $\int \frac{x^{3}+ x} {x - 1} dx $

Nos damos cuenta que el grado del numerador es mayor que el denominador, entocnes primero haremos una división larga.

$ \int \frac {x^{3}+ x} {x - 1} dx = \int ( x^{2} + x + 2 + \frac {2} {x - 1} ) dx $

$ = \frac {x^{3}} {3} + \frac {x^{2}} {2} + 2x + 2 ln (x - 1) + c $

Lo que tenemos que hacer ahora es factorizar el denominador $ Q(x) $ tanto como sea posible.

$ Q(x) = (x^{2} - 4) (x^{2} + 4) = (x - 2) (x^{2} + 4) $

Siguiendo este link puedes ver 5 ejemplos mas de fracciones parciales

Resolver $ \int \frac {x^{2} + 2x - 1} {2x^{3} + 3x^{2} - 2x}\; dx $

Ya que el grado del numerador es menor que el del denominador no necesitamos dividir. Factorizamos el denominador como:
$ 2x^{3} + 3x^{2} - 2x = x (2x^{2} + 3x - 2) = x(2x - 1) (x + 2) $

El denominador tiene tres factores lineales distintos y la descomposición en fracciones parciales es:

$ \frac {x^{2} + 2x -1} {x(2x - 1) (x + 2)} = \frac {A} {x} + \frac {B}{2x - 1} + \frac {C}{x + 2} $

Para encontrar los valores de A, B y C, multiplicamos ambos lados de esta ecuacion por $ x(2x - 1) (x + 2) $

$ x^{2} + 2x - 1 = A (2x - 1) (x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(2x - 1) $

$ x^{2} + 2x - 1 = (2A + B + 2C)x^{2} + (3A + 2B - C)x - 2A $

Los polinomios de esta ecuacion son identicos, de modo que sus coeficientes han de ser iguales.
El coeficiente de $ x^{2}$, en el lado derecho, es $ 2A + B + 2C $ y debe ser igual al coeficiente de $ x^{2} $ en el lado izquierdo, que es 1. De igual forma los coeficientes de x son iguales y los terminos constantes tambien. Con esto llegamos al siguiente sistema de ecuaciones en $ A, B \;\;y\;\; C $

$ 2A + B + 2C = 1 $
$ 3A + 2B - C = 2 $
$ -2A = -1 $

Al resolver el sistema obtenemos $ A = \frac {1}{2}\;\; B = \frac {1}{5} \;\;y\;\; C = - \frac {1}{10} $

$ \int \frac {x^{2} + 2x - 1}{2x^{3} + 3x^{2} - 2x} dx = \int [ \frac {1}{2}\frac{1}{x} + \frac {1}{5}\frac{1}{2x - 1} - \frac{1}{1}\frac{1}{x + 2} ] dx $

$ = \frac{1}{2} ln(x) + \frac {1}{10} ln(2x - 1) - \frac {1}{10} ln(x + 2) + K $

Al integrar el termino intermedio hemos recurrido a la sustitucion mental $ u = 2x - 1 $
$ du = 2dx $

$ dx = \frac {du}{2} $

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Resolver $\int \frac{4y^2 - 7y + 12}{y \left ( y+2 \right ) \left (y-3 \right )} dx $

Como el denominador ya esta factorizado, ahora descompondremos en fracciones:

$ \frac {4y^{2}-7y+12}{y\left ( y+2 \right ) \left ( y-3 \right )} = \frac{A}{y}+\frac{B}{\left ( y+2 \right )}+\frac{C}{\left ( y-3 \right )} $



Bueno ahora tendremos que multiplicar a cada fracción por: $ {y}\left ( y+2 \right )\left ( y-3 \right ) $

Y nos quedaría de esta forma:

$ {y}\left ( y+2 \right )\left ( y-3 \right ) \ast \frac{A}{y} + {y}\left ( y+2 \right )\left ( y-3 \right ) \ast \frac{B}{\left ( y+2 \right )} + {y}\left ( y+2 \right )\left ( y-3 \right ) \ast \frac{C}{\left ( y-3 \right )} $


Despues de multiplicar cada fracción el resultado sería: $ A\left ( y+2 \right )\left ( y-3 \right ) + By\left ( y-3 \right ) + Cy\left ( y+2 \right ) = 4y^2 -7y + 12 $

$ A\left ( y^2 -3y +2y-6 \right ) + By^2-3By+Cy^2+2Cy = 4y^2-7y+12 $

$ Ay^2-3Ay+2Ay-6A+By^2 -3By+Cy^2 +2Cy=4y^2-7y+12 $
$ y^2\left ( A+B+C \right )-Ay-3By+2Cy-6A=4y^2-7y+12 $
$ y^2\left ( A+B+C \right )+y\left ( -A-3B+2C \right )-6A=4y^2-7y+12 $


ahora encontramos polinomios que parescan tener las mismas características:

$   A+B+C=4    $ 
$ -A-3B+2C=-7 $
$ -6A=12 $


el valor de A sería:

$ A=-2 $

Ahora multiplicamos por 3 la primera ecuación para poder eliminar la variable B:

$ 3\left \{A+B+C \right \}=3\left ( 4 \right ) $


 $  3A+3B+3C=12 $ 
$ -3A-3B+2C=-7 $
$ 2A+5C=5 $


$ 5C=5-2A $

$ C=\frac{9}{5} $

Ahora escojemos una ecuación y despejamos para B:

$ B=4-C-A $
$ B=\frac{21}{5} $


Como ya tenemos los 3 valores de A,B y C sustituimos en la fracción parcial:

$ \int \frac{-2}{y}+\frac{21/5}{y+2}+\frac{9/5}{y-3}dx $


La respuesta correcta quedaría de la forma siguiente:


$ = -2\ln \left ( y \right )+\frac{21}{5}\ln \left ( y+2 \right )+\frac{9}{5}\ln \left ( y-3 \right ) $


Todavía mas ejemplos

Siguiendo este link puedes ver 5 ejemplos mas de fracciones parciales

Vea También

  1. Matematica II
  2. Fracciones parciales
  3. Técnicas de Integración
  4. Sustitución
  5. Integración por partes


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